cho mặt cầu (S):x2+y2+z2=3. Một mặt phẳng (α) tiếp xúc với mặt cầu (S) và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C thỏa mãn OA^2+OB^2+OC^2=27. Diện tích tam giác ABC bằng

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu  \( (S):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=3 \). Một mặt phẳng  \( (\alpha ) \) tiếp xúc với mặt cầu (S) và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C thỏa mãn  \( O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}+O{{C}^{2}}=27 \). Diện tích tam giác ABC bằng

A. \( \frac{3\sqrt{3}}{2} \)

B.  \( \frac{9\sqrt{3}}{2} \)       

C.  \( 3\sqrt{3} \)              

D.  \( 9\sqrt{3} \)

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Gọi H(a;b;c) là tiếp điểm của mặt phẳng  \( (\alpha ) \) và mặt cầu (S). Từ giả thiết ta có a, b, c là các số dương.

Mặt khác,  \( H\in (S) \) nên  \( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=3 \) hay  \( O{{H}^{2}}=3\Leftrightarrow OH=\sqrt{3} \)  (1)

Mặt phẳng  \( (\alpha ) \) đi qua điểm H và vuông góc với đường thẳng OH nên nhận  \( \overrightarrow{OH}=(a;b;c) \) làm vectơ pháp tuyến.

Do đó, mặt phẳng  \( (\alpha ) \) có phương trình là:

 \( a(x-a)+b(y-b)+c(z-c)=0\Leftrightarrow ax+by+cz-({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}})=0 \)

 \( \Leftrightarrow ax+by+cz-3=0 \).

Suy ra:  \( A\left( \frac{3}{a};0;0 \right),\text{ }B\left( 0;\frac{3}{b};0 \right),\text{ }C\left( 0;0;\frac{3}{c} \right) \).

Theo đề:  \( O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}+O{{C}^{2}}=27\Leftrightarrow \frac{9}{{{a}^{2}}}+\frac{9}{{{b}^{2}}}+\frac{9}{{{c}^{2}}}=27\Leftrightarrow \frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}=3 \)   (2)

Từ (1) và (2), ta có:  \( \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\left( \frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}} \right)=9 \).

Mặt khác, ta có:  \( \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\left( \frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}} \right)\ge 9 \) và dấu “=” xảy ra khi  \( a=b=c=1 \).

Suy ra,  \( OA=OB=OC=3 \) và  \( {{V}_{O.ABC}}=\frac{OA.OB.OC}{6}=\frac{9}{2} \).

Lúc đó:  \( {{S}_{\Delta ABC}}=\frac{3{{V}_{O.ABC}}}{OH}=\frac{9\sqrt{3}}{2} \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 7b4a035yn3 may not exist

mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;2;1) cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C (A, B, C không trùng với gốc O) sao cho tứ diện OABC có thể tích nhỏ nhất. Mặt phẳng (P) đi qua điểm

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;2;1) cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C (A, B, C không trùng với gốc O) sao cho tứ diện OABC có thể tích nhỏ nhất. Mặt phẳng (P) đi qua điểm nào trong các điểm dưới đây?

A. N(0;2;2)

B. M(0;2;1)

C. P(2;0;0)                       

D. Q(2;0;-1)

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Gọi A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) ( \( a,b,c>0 \)) lần lượt là các điểm của (P) cắt các tia Ox, Oy, Oz.

Ta có:  \( (P):\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1 \).

Vì  \( M\in (P) \) nên ta có  \( \frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c}=1 \)  (1).

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: \(1=\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c}\ge \frac{3\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{abc}}\Leftrightarrow abc\ge 54\).

Thể tích khối chóp  \( {{V}_{OABC}}=\frac{1}{6}abc\ge 9 \).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi  \( \frac{1}{a}=\frac{2}{b}=\frac{1}{c} \)    (2)

Từ (1) và (2) suy ra:  \( a=3;b=6;c=3 \).

Vậy phương trình mặt phẳng  \( (P):\frac{x}{3}+\frac{y}{6}+\frac{z}{3}=1\Rightarrow N(0;2;2)\in (P) \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 7b4a035yn3 may not exist

cho mặt phẳng (P):x−y+2=0 và hai điểm A(1;2;3), B(1;0;1). Điểm C(a;b;−2)∈(P) sao cho tam giác ABC có diện tích nhỏ nhất. Tính a+b

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \( (P):x-y+2=0 \) và hai điểm A(1;2;3), B(1;0;1). Điểm  \( C(a;b;-2)\in (P) \) sao cho tam giác ABC có diện tích nhỏ nhất. Tính  \( a+b  \).

A. 0

B. -3                                 

C. 1                                   

D. 2

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Ta có:  \( C(a;b;-2)\in (P)\Rightarrow a-b+2=0\Rightarrow b=a+2\Rightarrow C(a;a+2;-2) \).

 \( \overrightarrow{AB}=(0;-2;-2),\overrightarrow{AC}=(a-1;a;-5)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right]=(10+2a;-2a+2;2a-2) \).

 \( {{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right] \right|=\frac{\sqrt{{{(2a+10)}^{2}}+2{{(2a-2)}^{2}}}}{2}=\frac{\sqrt{12{{a}^{2}}+24a+108}}{2} \)

 \( =\sqrt{3({{a}^{2}}+2a+9)}=\sqrt{3{{(a+1)}^{2}}+24}\ge 2\sqrt{6},\text{ }\forall a  \).

Do đó  \( \min {{S}_{\Delta ABC}}=2\sqrt{6} \) khi  \( a=-1 \). Khi đó, ta có  \( C(-1;1;-2)\Rightarrow a+b=0 \)

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 7b4a035yn3 may not exist

cho hai điểm A(1;2;4), B(0;0;1) và mặt cầu (S):(x+1)2+(y−1)2+z2=4. Mặt phẳng (P):ax+by+cz−4=0 đi qua A, B và cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính nhỏ nhất

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2;4), B(0;0;1) và mặt cầu  \( (S):{{(x+1)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}+{{z}^{2}}=4 \). Mặt phẳng  \( (P):ax+by+cz-4=0 \) đi qua A, B và cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính  \( T=a+b+c  \)?

A. \( T=\frac{1}{5} \)

B.  \( T=\frac{3}{4} \)     

C.  \( T=1 \)  

D.  \( T=-2 \)

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Ta có: (S) có tâm I(-1;1;0) và bán kính  \( R=2 \).

Do  \( A,B\in (P)\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & a+2b+4c-4=0 \\  & c-4=0 \\ \end{align} \right. \)  \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & a=-2b-12 \\  & c=4 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Rightarrow (P):-2(b+6)x+by+4z-4=0 \).

Gọi r là bán kính của đường tròn là giao tuyến của (P) và (S)  \( \Rightarrow r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{d}^{2}}\left( I,(P) \right)} \), để r đạt giá trị nhỏ nhất

 \( \Leftrightarrow d\left( I,(P) \right) \) đạt giá trị lớn nhất.

Mà  \( d\left( I,(P) \right)=\frac{\left| 3b+8 \right|}{\sqrt{5{{b}^{2}}+48b+160}} \).

Xét hàm số  \( f(x)=\frac{3x+8}{\sqrt{5{{x}^{2}}+48x+160}} \);

 \( {f}'(x)=\frac{32x+288}{{{\left( \sqrt{5{{x}^{2}}+48x+160} \right)}^{3}}};{f}'(x)=0\Leftrightarrow x=-9 \).

Bảng biến thiên:

Suy ra bảng biến thiên của hàm số  \( y=\left| f(x) \right| \) là:

Dựa vào bảng biến thiên, ta có:  \( x=-9\Rightarrow b=-9\Rightarrow a=6\Rightarrow T=1 \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 5536128neb may not exist

cho tứ diện ABCD có điểm A(1;0;-2), B(2;1;-1), C(1;-2;2), D(4;5;-7). Trên các cạnh AB, AC, AD lần lượt lấy các điểm B′,C′,D′ thỏa mãn AB/AB′+AC/AC′+AD/AD′=8. Khi tứ diện AB′C′D′ có thể tích nhỏ nhất, mặt phẳng (B′C′D′) có phương trình dạng 6x+my+nz+p=0

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có điểm A(1;0;-2), B(2;1;-1), C(1;-2;2), D(4;5;-7). Trên các cạnh AB, AC, AD lần lượt lấy các điểm \( {B}’,{C}’,{D}’ \) thỏa mãn  \( \frac{AB}{A{B}’}+\frac{AC}{A{C}’}+\frac{AD}{A{D}’}=8 \). Khi tứ diện  \( A{B}'{C}'{D}’ \) có thể tích nhỏ nhất, mặt phẳng  \( ({B}'{C}'{D}’) \) có phương trình dạng  \( 6x+my+nz+p=0\text{ }(m,n,p\in \mathbb{Z}) \). Tính  \( {{m}^{2}}-n-p  \).

A. 3

B. -3                                 

C. 7                                   

D. -7

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Đặt  \( x=\frac{A{B}’}{AB},y=\frac{A{C}’}{AC},z=\frac{A{D}’}{AD} \). Ta có:  \( \frac{AB}{A{B}’}+\frac{AC}{A{C}’}+\frac{AD}{A{D}’}=8 \).

Suy ra:  \( 8=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge 3\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}\Rightarrow xyz\ge \frac{27}{512} \).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi  \( x=y=z  \).

 \( \left\{ \begin{align}  & \overrightarrow{AB}=(1;1;1) \\  & \overrightarrow{AC}=(0;-2;4) \\ \end{align} \right.\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right]=(6;-4;-2),\text{ }\overrightarrow{AD}=(3;5;-5) \).

Thể tích của tứ diện ABCD là  \( {{V}_{ABCD}}=\frac{1}{6}\left| \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right].\overrightarrow{AD} \right|=\frac{4}{3} \).

Lại có:  \( {{V}_{A{B}'{C}'{D}’}}=xyz{{V}_{ABCD}}\Rightarrow \min {{V}_{A{B}'{C}'{D}’}}\Leftrightarrow {{(xyz)}_{\min }} \)khi và chỉ khi  \( x=y=z=\frac{3}{8}\Rightarrow  \) Mặt phẳng  \( ({B}'{C}'{D}’) \) và đi qua điểm  \( {B}’ \).

Vì  \( \overrightarrow{A{B}’}=\frac{3}{8}\overrightarrow{AB}=\left( \frac{3}{8};\frac{3}{8};\frac{3}{8} \right) \) nên  \( {B}’\left( \frac{11}{8};\frac{3}{8};-\frac{13}{8} \right) \).

\(\left\{ \begin{align}  & \overrightarrow{BC}=(-1;-3;3) \\  & \overrightarrow{BD}=(2;4;-6) \\\end{align} \right.\Rightarrow \left[ \overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD} \right]=(6;0;2)\Rightarrow ({B}'{C}'{D}’)\) nhận VTPT là  \( \vec{n}=(6;0;2) \).

Suy ra phương trình mặt phẳng \(({B}'{C}'{D}’):6x+2z-5=0\) \(\Rightarrow \left\{ \begin{align}  & m=0 \\  & n=2 \\  & p=-5 \\ \end{align} \right.\Rightarrow {{m}^{2}}-n-p=3\).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 7b4a035yn3 may not exist

cho tứ diện ABCD có điểm A(1;1;1), B(2;0;2), C(-1;-1;0), D(0;3;4). Trên các cạnh AB, AC, AD lần lượt lấy các điểm B′,C′,D′ thỏa AB/AB′+AC/AC′+AD/AD′=4. Viết phương trình mặt phẳng (B′C′D′) biết tứ diện AB′C′D′ có thể tích nhỏ nhất

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có điểm A(1;1;1), B(2;0;2), C(-1;-1;0), D(0;3;4). Trên các cạnh AB, AC, AD lần lượt lấy các điểm \( {B}’,{C}’,{D}’ \) thỏa  \( \frac{AB}{A{B}’}+\frac{AC}{A{C}’}+\frac{AD}{A{D}’}=4 \). Viết phương trình mặt phẳng  \( ({B}'{C}'{D}’) \) biết tứ diện  \( A{B}'{C}'{D}’ \) có thể tích nhỏ nhất?

A. \( 16x+40y+44z-39=0 \)

B.  \( 16x-40y-44z+39=0 \)

C. \( 16x+40y-44z+39=0 \)

D.  \( 16x-40y-44z-39=0 \)

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Đặt  \( x=\frac{A{B}’}{AB},y=\frac{A{C}’}{AC},z=\frac{A{D}’}{AD} \). Ta có:  \( \frac{AB}{A{B}’}+\frac{AC}{A{C}’}+\frac{AD}{A{D}’}=4 \).

Suy ra:  \( 4=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge 3\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}\Rightarrow xyz\ge \frac{27}{64} \).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi  \( x=y=z  \).

 \( \left\{ \begin{align}  & \overrightarrow{AB}=(1;-1;1) \\  & \overrightarrow{AC}=(-2;-2;-1) \\ \end{align} \right.\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right]=(3;-1;-4),\text{ }\overrightarrow{AD}=(-1;2;3) \).

Thể tích của tứ diện ABCD là  \( {{V}_{ABCD}}=\frac{1}{6}\left| \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right].\overrightarrow{AD} \right|=\frac{17}{6} \).

Lại có:  \( {{V}_{A{B}'{C}'{D}’}}=xyz{{V}_{ABCD}}\Rightarrow \min {{V}_{A{B}'{C}'{D}’}}\Leftrightarrow {{(xyz)}_{\min }} \) khi và chỉ khi  \( x=y=z=\frac{3}{4}\Rightarrow  \)Mặt phẳng  \( ({B}'{C}'{D}’) \) và đi qua điểm  \( {B}’ \).

Vì  \( \overrightarrow{A{B}’}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}=\left( \frac{3}{4};-\frac{3}{4};\frac{3}{4} \right) \) nên  \( {B}’\left( \frac{7}{4};\frac{1}{4};\frac{7}{4} \right) \).

\(\left\{ \begin{align}  & \overrightarrow{BC}=(-3;-1;-2) \\  & \overrightarrow{BD}=(-2;3;2) \\ \end{align} \right.\Rightarrow \left[ \overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD} \right]=(4;10;-11)\Rightarrow ({B}'{C}'{D}’)\) nhận VTPT là  \( \vec{n}=(4;10;-11) \).

Suy ra phương trình mặt phẳng \(({B}'{C}'{D}’):16x+40y-44z+39=0\).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 7b4a035yn3 may not exist

cho mặt phẳng (P):x−y+2z−1=0 và các điểm A(0;1;1), B(1;0;0) (A và B nằm trong mặt phẳng (P)) và mặt cầu (S):(x−2)2+(y+1)2+(z−2)2=4. CD là đường kính thay đổi của (S) sao cho CD song song với mặt phẳng (P) và bốn điểm A, B, C, D tạo thành một tứ diện

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \( (P):x-y+2z-1=0 \) và các điểm A(0;1;1), B(1;0;0) (A và B nằm trong mặt phẳng (P)) và mặt cầu  \( (S):{{(x-2)}^{2}}+{{(y+1)}^{2}}+{{(z-2)}^{2}}=4 \). CD là đường kính thay đổi của (S) sao cho CD song song với mặt phẳng (P) và bốn điểm A, B, C, D tạo thành một tứ diện. Giá trị lớn nhất của tứ diện đó là:

A. \( 2\sqrt{6} \)

B.  \( 2\sqrt{5} \)                       

C.  \( 2\sqrt{2} \)              

D.  \( 2\sqrt{3} \)

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Mặt cầu (S) có tâm I(2;-1;2), mặt phẳng (P) có VTPT  \( \vec{n}=(1;-1;2) \). Gọi điểm C(x;y;z), ta có  \( C\in (S) \) nên  \( {{(x-2)}^{2}}+{{(y+1)}^{2}}+{{(z-2)}^{2}}=4 \)    (1).

Do CD là đường kính của mặt cầu (S) nên I là trung điểm của CD, suy ra  \( D(4-x;-y-2;4-z) \).

Mà theo đề có CD song song với mặt phẳng (P) nên

 \( \overrightarrow{IC}\bot \vec{n}\Leftrightarrow \overrightarrow{IC}.\vec{n}=0\Leftrightarrow x-2-(y+1)+2(z-2)=0 \)  (2)

Ta có:  \( \overrightarrow{AB}=(1;-1;-1);\text{ }\overrightarrow{AC}=(x;y-1;z-1);\text{ }\overrightarrow{AD}=(4-x;-y-3;3-z) \).

 \( \left[ \overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD} \right]=\left( 2y+4z-6;-2x+4z-4;-4x-4y+4 \right) \).

 \( \overrightarrow{AB}.\left[ \overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD} \right]=2y+4z-6+(-1).(-2x+4z-4)+(-1).(-4x-4y+4)=6x+6y-6 \).

Thể tích khối tứ diện ABCD là: \(V=\frac{1}{6}\left| \overrightarrow{AB}.\left[ \overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD} \right] \right|=\left| x+y-1 \right|\).

Đặt  \( \left\{ \begin{align}  & x-2=a \\  & y+1=b \\  & z-2=c \\ \end{align} \right. \). Từ (1) và (2) ta có hệ:  \( \left\{ \begin{align} & {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=4 \\  & a-b+2c=0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & a-b=-2c \\  & ab=\frac{4-5{{c}^{2}}}{2} \\ \end{align} \right. \).

 \( V=\left| x+y-1 \right|=\left| x-2+y+1 \right|=\left| a+b \right|=\sqrt{{{(a-b)}^{2}}+4ab} \)

 \( =\sqrt{4{{c}^{2}}+2(4-5{{c}^{2}})}=\sqrt{8-6{{c}^{2}}}\le 2\sqrt{2} \).

Vậy giá trị lớn nhất của V là  \( 2\sqrt{2} \) khi và chỉ khi:

 \( \left\{ \begin{align}  & z-2=0 \\  & x-2=y+1 \\  & {{(x-2)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}+{{(z-2)}^{2}}=4 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=2+\sqrt{2};y=-1+\sqrt{2};z=2 \\  & x=2-\sqrt{2};y=-1-\sqrt{2};z=2 \\ \end{align} \right. \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 7b4a035yn3 may not exist

cho hai điểm A(0;-1;-1), B(-1;-3;1). Giả sử C, D là hai điểm di động trên mặt phẳng (P):2x+y−2z−1=0 sao cho CD=4 và A, C, D thẳng hàng. Gọi S1, S2 lần lượt là diện tích lớn nhất và nhỏ nhất của tam giác BCD.

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0;-1;-1), B(-1;-3;1). Giả sử C, D là hai điểm di động trên mặt phẳng  \( (P):2x+y-2z-1=0 \) sao cho  \( CD=4 \) và A, C, D thẳng hàng. Gọi S1, S2 lần lượt là diện tích lớn nhất và nhỏ nhất của tam giác BCD. Khi đó tổng  \( {{S}_{1}}+{{S}_{2}} \) có giá trị bằng bao nhiêu?

A. \( \frac{34}{3} \)                                           

B.  \( \frac{37}{3} \)                 

C.  \( \frac{11}{3} \)        

D.  \( \frac{17}{3} \)

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Ta có:  \( \overrightarrow{AB}=(-1;-2;2) \).

Gọi H là hình chiếu của B trên CD ta có  \( BH\le BA  \) nên  \( {{S}_{\Delta BCD}} \) lớn nhất khi  \( H\equiv A  \).

Vậy  \( {{S}_{1}}=\frac{1}{2}BA.CD=\frac{1}{2}.3.4=6 \).

Gọi H1 là hình chiếu của B trên mặt phẳng (P) khi đó  \( {{S}_{\Delta BCD}}\ge \frac{1}{2}B{{H}_{1}}.CD=\frac{1}{2}d\left( B,(P) \right).CD  \) điều này xảy ra khi A, C, D, H1 thẳng hàng.

Vậy  \( {{S}_{2}}=\frac{1}{2}d\left( B,(P) \right).CD=\frac{1}{2}.\frac{\left| -2-3-2-1 \right|}{\sqrt{9}}.4=\frac{16}{3} \).

Khi đó:  \( {{S}_{1}}+{{S}_{2}}=6+\frac{16}{3}=\frac{34}{3} \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 7b4a035yn3 may not exist

cho mặt cầu (S):(x−1)2+(y+2)2+(z−3)2=27. Gọi (α) là mặt phẳng đi qua 2 điểm A(0;0;-4), B(2;0;0) và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) sao cho khối nón có đỉnh là tâm của (S), là hình tròn (C) có thể tích lớn nhất

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \( (S):{{(x-1)}^{2}}+{{(y+2)}^{2}}+{{(z-3)}^{2}}=27 \). Gọi  \( (\alpha ) \) là mặt phẳng đi qua 2 điểm A(0;0;-4), B(2;0;0) và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) sao cho khối nón có đỉnh là tâm của (S), là hình tròn (C) có thể tích lớn nhất. Biết mặt phẳng  \( (\alpha ) \) có phương trình dạng  \( ax+by-z+c=0 \), khi đó  \( a-b+c  \) bằng:

A. 8

B. 0

C. 2                                   

D. -4

Hướng dẫn giải:

Chọn D

+ Vì  \( (\alpha ) \) qua A, ta có:  \( -(-4)+c=0\Rightarrow c=-4 \).

+ Vì  \( (\alpha ) \) qua B, ta có:  \( 2a+c=0\Rightarrow a=2 \).

 \( \Rightarrow (\alpha ):2x+by-z-4=0 \).

+ Mặt cầu (S) có tâm I(1;-2;3), bán kính  \( R=3\sqrt{3} \).

+ Chiều cao khối nón:  \( h=d\left( I,(\alpha ) \right)=\frac{\left| 2-2b-3-4 \right|}{\sqrt{4+{{b}^{2}}+1}}=\frac{\left| 2b+5 \right|}{\sqrt{{{b}^{2}}+5}} \).

+ Bán kính đường tròn:  \( r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{h}^{2}}}=\sqrt{27-{{\left( \frac{\left| 2b+5 \right|}{\sqrt{{{b}^{2}}+5}} \right)}^{2}}}=\sqrt{27-\frac{{{(2b+5)}^{2}}}{{{b}^{2}}+5}} \).

+ Thể tích khối nón:  \( V=\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}=\frac{1}{3}\pi \left( 27-\frac{{{(2b+5)}^{2}}}{{{b}^{2}}+5} \right).\frac{\left| 2b+5 \right|}{\sqrt{{{b}^{2}}+5}} \).

+ Tới đây ta có thể thử các trường hợp đáp án.

Hoặc ta làm tự như sau:

Đặt  \( t=\frac{\left| 2b+5 \right|}{\sqrt{{{b}^{2}}+5}} \) và xét hàm số  \( f(t)=(27-{{t}^{2}})t  \) trên đoạn  \( \left[ 0;3\sqrt{3} \right] \).

Ta có:  \( {f}'(t)=27-3{{t}^{2}};\text{ }{f}'(t)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & t=3 \\  & t=-3\text{ }(\ell ) \\ \end{align} \right. \).

Ta có bảng biến thiên:

Do đó, thể tích khối nón lớn nhất khi và chỉ khi:

 \( t=3\Leftrightarrow {{\left( \frac{\left| 2b+5 \right|}{\sqrt{{{b}^{2}}+5}} \right)}^{2}}={{3}^{2}}\Leftrightarrow 4{{b}^{2}}+20b+25=9{{b}^{2}}+45 \)

 \( \Leftrightarrow 5{{b}^{2}}-20b+20=0\Leftrightarrow b=2 \).

Vậy  \( a-b+c=-4 \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 7b4a035yn3 may not exist

cho mặt cầu (S):(x−1)2+(y−2)2+(z−3)2=9, điểm A(0;0;2). Mặt phẳng (P) qua A và cắt mặt cầu (S) theo thiết diện là hình tròn (C) có diện tích nhỏ nhất, phương trình (P) là

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \( (S):{{(x-1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}+{{(z-3)}^{2}}=9 \), điểm A(0;0;2). Mặt phẳng (P) qua A và cắt mặt cầu (S) theo thiết diện là hình tròn (C) có diện tích nhỏ nhất, phương trình (P) là:

A. \( (P):x-2y+3z-6=0 \)

B. \( (P):x+2y+3z-6=0 \)

C. \( (P):3x+2y+2z-4=0 \)

D.  \( (P):x+2y+z-2=0 \)

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3), bán kính  \( R=3 \).

Ta có:  \( IA=\sqrt{6}<R\Rightarrow A  \) nằm trong mặt cầu (S).

Do đó, mặt phẳng (P) qua A luôn cắt mặt cầu (S) theo tiết diện là hình tròn (C) có bán kính  \( r=\sqrt{{{R}^{2}}-I{{H}^{2}}} \) (với H là hình chiếu của I(1;2;3) trên (P)).

Ta luôn có  \( IA\ge IH\Rightarrow \sqrt{{{R}^{2}}-I{{H}^{2}}}\ge \sqrt{{{R}^{2}}-I{{A}^{2}}}\Rightarrow r\ge \sqrt{{{R}^{2}}-I{{A}^{2}}} \).

Diện tích của hình tròn (C) nhỏ nhất khi bán kính r nhỏ nhất, tức là  \( r=\sqrt{{{R}^{2}}-I{{A}^{2}}}\Leftrightarrow H\equiv A  \).

Khi đó  \( IA\bot (P)\Rightarrow  \) Mặt phẳng (P) nhận  \( \overrightarrow{IA}=(-1;-2;-1) \) làm một vectơ pháp tuyến.

Vậy phương trình mặt phẳng  \( (P):-x-2y-(z-2)=0\Leftrightarrow x+2y+z-2=0 \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

 

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 7b4a035yn3 may not exist

cho A(2;0;0), M(1;1;1). Mặt phẳng (P) thay đổi qua AM và cắt các tia Oy, Oz lần lượt tại B, C. Khi mặt phẳng (P) thay đổi thì diện tích tam giác ABC đạt giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A(2;0;0), M(1;1;1). Mặt phẳng (P) thay đổi qua AM và cắt các tia Oy, Oz lần lượt tại B, C. Khi mặt phẳng (P) thay đổi thì diện tích tam giác ABC đạt giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu?

A. \( 5\sqrt{6} \)

B.  \( 4\sqrt{6} \)                       

C.  \( 3\sqrt{6} \)              

D.  \( 2\sqrt{6} \)

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Đặt B(0;b;0), C(0;0;c), với  \( b,c>0 \).

Phương trình của mặt phẳng (P) là:  \( \frac{x}{2}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1 \).

 \( M\in (P)\Leftrightarrow \frac{1}{2}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\Leftrightarrow \frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2} \).

Suy ra:  \( \frac{1}{2}=\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge \frac{2}{\sqrt{bc}}\Rightarrow bc\ge 16 \).

 \( {{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right] \right|=\frac{1}{2}\sqrt{{{b}^{2}}{{c}^{2}}+4{{b}^{2}}+4{{c}^{2}}}\ge \frac{1}{2}\sqrt{{{b}^{2}}{{c}^{2}}+8bc}=\frac{1}{2}\sqrt{{{16}^{2}}+8.16}=4\sqrt{6} \).

Vậy  \( \min {{S}_{\Delta ABC}}=4\sqrt{6}\Leftrightarrow b=c=4 \)

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 5536128neb may not exist

Mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;1;1) cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt là tại A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) sao cho thể tích khối tứ diện OABC nhỏ nhất

Mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;1;1) cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt là tại A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) sao cho thể tích khối tứ diện OABC nhỏ nhất. Khi đó \( a+2b+3c  \) bằng

A. 12

B. 21

C. 15                                

D. 18

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Từ giả thiết ta có:  \( a>0,b>0,c>0 \) và thể tích khối tứ diện OABC là: \( {{V}_{OABC}}=\frac{1}{6}abc \).

Ta có phương trình đoạn chắn mặt phẳng (P) có dạng  \( \frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1 \).

Mà  \( M\in (P)\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1 \).

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương, ta có:  \( 1=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge 3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\Rightarrow abc\ge 27 \).

Do đó,  \( {{V}_{OABC}}=\frac{1}{6}abc\ge \frac{9}{2} \). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=3.

Vậy  \( \min {{V}_{OABC}}=\frac{9}{2}\Leftrightarrow a=b=c=3\Rightarrow a+2b+3c=18 \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 7b4a035yn3 may not exist

 

cho hai điểm A(3;-2;6), B(0;1;0) và mặt cầu (S):(x−1)^2+(y−2)^2+(z−3)^2=25. Mặt phẳng (P):ax+by+cz−2=0 đi qua A, B và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất

(THPTQG – 105 – 2017) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3;-2;6), B(0;1;0) và mặt cầu  \( (S):{{(x-1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}+{{(z-3)}^{2}}=25 \). Mặt phẳng  \( (P):ax+by+cz-2=0 \) đi qua A, B và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính  \( T=a+b+c  \).

A. T = 3

B. T = 4                           

C. T = 5                           

D. T = 2

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3) và bán kính  \( R=5 \).

Ta có:  \( \left\{ \begin{align}  & A\in (P) \\  & B\in (P) \\ \end{align} \right. \)  \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & 3a-2b+6c-2=0 \\  & b-2=0 \\ \end{align} \right. \)  \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & a=2-2c \\  & b=2 \\ \end{align} \right. \).

Bán kính của đường tròn giao tuyến là:  \( r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{\left[ d\left( I,(P) \right) \right]}^{2}}}=\sqrt{25-{{\left[ d\left( I,(P) \right) \right]}^{2}}} \).

Bán kính của đường tròn giao tuyến nhỏ nhất khi và chỉ khi  \( d\left( I,(P) \right) \) lớn nhất.

Ta có: \(d\left( I,(P) \right)=\frac{\left| a+2b+3c-2 \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\frac{\left| 2-2c+4+3c-2 \right|}{\sqrt{{{(2-2c)}^{2}}+{{2}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\sqrt{\frac{{{(c+4)}^{2}}}{5{{c}^{2}}-8c+8}}\).

Xét  \( f(c)=\sqrt{\frac{{{(c+4)}^{2}}}{5{{c}^{2}}-8c+8}}\Rightarrow {f}'(c)=\frac{-48{{c}^{2}}-144c+192}{{{(5{{c}^{2}}-8c+8)}^{2}}\sqrt{\frac{{{(c+4)}^{2}}}{5{{c}^{2}}-8c+8}}} \).

 \( {f}'(c)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & c=1 \\  & c=-4 \\ \end{align} \right. \).

Bảng biến thiên:

Vậy  \( d\left( I,(P) \right) \) lớn nhất bằng  \( \sqrt{5} \) khi và chỉ khi  \( c=1\Rightarrow a=0,b=2\Rightarrow a+b+c=3 \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 7b4a035yn3 may not exist

cho điểm M(-3;3;-3) thuộc mặt phẳng (α):2x−2y+z+15=0 và mặt cầu (S):(x−2)^2+(y−3)^2+(z−5)^2=100. Đường thẳng Δ qua M, nằm trên mặt phẳng (α) cắt (S) tại A, B sao cho độ dài AB lớn nhất

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M(-3;3;-3) thuộc mặt phẳng \( (\alpha ):2x-2y+z+15=0 \) và mặt cầu  \( (S):{{(x-2)}^{2}}+{{(y-3)}^{2}}+{{(z-5)}^{2}}=100 \). Đường thẳng  \( \Delta  \) qua M, nằm trên mặt phẳng  \( (\alpha ) \) cắt (S) tại A, B sao cho độ dài AB lớn nhất. Viết phương trình đường thẳng  \( \Delta  \).

A. \( \frac{x+3}{1}=\frac{y-3}{1}=\frac{z+3}{3} \)

B. \( \frac{x+3}{1}=\frac{y-3}{4}=\frac{z+3}{6} \)

C. \( \frac{x+3}{16}=\frac{y-3}{11}=\frac{z+3}{-10} \)

D. \( \frac{x+3}{5}=\frac{y-3}{1}=\frac{z+3}{8} \)

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Ta có: Mặt cầu (S) có tâm I(2;3;5), bán kính  \( R=10 \).

 \( d\left( I,(\alpha ) \right)=\frac{\left| 2.2-2.3+5+15 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{(-2)}^{2}}+{{1}^{2}}}}=6<R\Rightarrow (\alpha )\cap (S)=C(H,r) \), với H là hình chiếu của I lên  \( (\alpha ) \).

Gọi  \( {{\Delta }_{1}} \) là đường thẳng qua I và vuông góc với  \( (\alpha ) \) \( \Rightarrow {{\Delta }_{1}} \) có vectơ chỉ phương là  \( {{\vec{u}}_{1}}=(2;-2;1) \).

 \( \Rightarrow  \)Phương trình tham số của  \( {{\Delta }_{1}}:\left\{ \begin{align}  & x=2+2t \\  & y=3-2t \\  & z=5+t \\ \end{align} \right. \).

Tọa độ H là nghiệm của hệ:  \( \left\{ \begin{align}  & x=2+2t \\  & y=3-2t \\  & z=5+t \\  & 2x-2y+z+15=0 \\ \end{align} \right. \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{align}  & x=-2 \\  & y=7 \\  & z=3 \\ \end{align} \right.\Rightarrow H(-2;7;3) \).

Ta có AB có độ dài lớn nhất  \( \Leftrightarrow AB  \) là đường kính của (C)  \( \Leftrightarrow \Delta \equiv MH  \).

Đường thẳng MH đi qua M(-3;3;-3) và có vectơ chỉ phương  \( \overrightarrow{MH}=(1;4;6) \).

Suy ra phương trình  \( \Delta :\frac{x+3}{1}=\frac{y-3}{4}=\frac{z+3}{6} \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 7b4a035yn3 may not exist

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):x2+y2+z2−2x−4y+6z−13=0 và đường thẳng d:x+11=y+21=z−11. Điểm M(a;b;c), (a>0) nằm trên đường thẳng d sao cho từ M kẻ được ba tiếp tuyến MA, MB, MC đến mặt cầu (S) (A, B, C là các tiếp điểm) và AMBˆ=60O, BMCˆ=60O và CMAˆ=120O

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \( (S):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-4y+6z-13=0 \) và đường thẳng  \( d:\frac{x+1}{1}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-1}{1} \). Điểm  \( M(a;b;c),\text{ }(a>0) \) nằm trên đường thẳng d sao cho từ M kẻ được ba tiếp tuyến MA, MB, MC đến mặt cầu (S) (A, B, C là các tiếp điểm) và  \( \widehat{AMB}={{60}^{O}},\text{ }\widehat{BMC}={{60}^{O}} \) và  \( \widehat{CMA}={{120}^{O}} \). Tính  \( {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}} \).

A. \( {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}=\frac{173}{9} \)

B. \( {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}=\frac{112}{9} \)                                    

C. \( {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}=-8 \)             

D. \( {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}=\frac{23}{9} \)

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;-3) và bán kính \(R=\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{(-3)}^{2}}+13}=3\sqrt{3}\).

Gọi (C) là đường tròn giao tuyến của mặt phẳng (ABC) và mặt cầu (S).

Đặt  \( MA=MB=MC=x  \) khi đó  \( AB=x,\text{ }BC=x\sqrt{2},\text{ }CA=x\sqrt{3} \) do đó tam giác ABC vuông tại B nên trung điểm H của AC là tâm đường tròn (C) và H, I, M thẳng hàng.

Vì  \( \widehat{AMC}={{120}^{O}} \) nên tam giác AIC đều do đó  \( x\sqrt{3}=R\Leftrightarrow x=3 \) suy ra  \( IM=2AM=2x=6 \).

Lại có  \( M\in d  \) nên  \( M(-1+t;-2+t;1+t),\text{ }(t>1) \) mà  \( IM=6 \) nên  \( {{(t-2)}^{2}}+{{(t-4)}^{2}}+{{(t+4)}^{2}}=36 \)

 \( \Leftrightarrow 3{{t}^{2}}-4t=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & t=0 \\  & t=\frac{4}{3} \\ \end{align} \right. \).

Mà  \( a>0 \) nên  \( t=\frac{4}{3}\Rightarrow H\left( \frac{1}{3};-\frac{2}{3};\frac{7}{3} \right)\Rightarrow {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}=\frac{112}{9} \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 7b4a035yn3 may not exist

Viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng d1 và d2

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \( {{d}_{1}}:\left\{ \begin{align}  & x=2t \\  & y=t \\  & z=4 \\ \end{align} \right. \) và  \( {{d}_{2}}:\left\{ \begin{align}  & x=3-s \\  & y=s \\  & z=0 \\ \end{align} \right. \). Viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng d1 và d2.

A. \( (S):{{(x+2)}^{2}}+{{(y+1)}^{2}}+{{(z+2)}^{2}}=4 \)

B.  \( (S):{{(x-2)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}+{{(z-2)}^{2}}=16 \)

C. \( (S):{{(x-2)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}+{{(z-2)}^{2}}=4 \)

D.  \( (S):{{(x+2)}^{2}}+{{(y+1)}^{2}}+{{(z+2)}^{2}}=16 \)

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Đường thẳng d1 có vectơ chỉ phương  \( {{\vec{u}}_{1}}=(2;1;0) \).

Đường thẳng d2 có vectơ chỉ phương  \( {{\vec{u}}_{2}}=(-1;1;0) \).

Để phương trình mặt cầu (S) có bán kính nhỏ nhất và đồng thời tiếp xúc với cả hai đường thẳng d1 và d2 khi và chỉ khi:

Tâm mặt cầu (S) nằm trên đoạn thẳng vuông góc chung của 2 đường thẳng d1 và d2, đồng thời là trung điểm của đoạn thẳng vuông góc chung.

Gọi điểm  \( M(2t;t;4)\in {{d}_{1}} \) và  \( N(3-s;s;0)\in {{d}_{2}} \) với MN là đoạn vuông góc chung của d1 và d2.

Ta có:  \( \overrightarrow{MN}=(3-s-2t;s-t;-4) \).

MN là đoạn thẳng vuông góc chung  \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & \overrightarrow{MN}.{{{\vec{u}}}_{1}}=0 \\  & \overrightarrow{MN}.{{{\vec{u}}}_{2}}=0 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & 2(3-s-2t)+s-t=0 \\  & (-1).(3-s-2t)+s-t=0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & s+5t=6 \\  & 2s+t=3 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & t=1 \\  & s=1 \\ \end{align} \right. \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{align}  & M(2;1;4) \\  & N(2;1;0) \\ \end{align} \right. \).

Gọi điểm I là tâm mặt cầu (S), do đó điểm I là trung điểm MN.

 \( \Rightarrow I(2;1;2)\Rightarrow R=IM=IN=2 \).

Suy ra mặt cầu  \( (S):{{(x-2)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}+{{(z-2)}^{2}}=4 \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

 

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 7b4a035yn3 may not exist

cho hai đường thẳng Δ1:x+1/2=y+1/1=z+1/2 và Δ2:x−1/2=y−1/2=z−1/1. Tính diện tích mặt cầu có bán kính nhỏ nhất, đồng thời tiếp xúc với cả hai đường thẳng Δ1 và Δ2

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \( {{\Delta }_{1}}:\frac{x+1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z+1}{2} \) và  \( {{\Delta }_{2}}:\frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{1} \). Tính diện tích mặt cầu có bán kính nhỏ nhất, đồng thời tiếp xúc với cả hai đường thẳng  \( {{\Delta }_{1}} \) và  \( {{\Delta }_{2}} \).

A. \( \frac{16}{17}\pi \) (đvdt)                                

B.  \( \frac{4}{\sqrt{17}}\pi  \) (đvdt)   

C.  \( \frac{16}{\sqrt{17}}\pi  \) (đvdt)       

D.  \( \frac{4}{17}\pi  \) (đvdt)

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Gọi A, B là hai điểm thuộc lần lượt  \( {{\Delta }_{1}} \) và  \( {{\Delta }_{2}} \) sao cho AB là đoạn thẳng vuông góc chung giữa hai đường thẳng. Gọi M là trung điểm AB. Dễ có mặt cầu tâm M, bán kính  \( R=\frac{AB}{2} \) tiếp xúc với hai đường thẳng  \( {{\Delta }_{1}} \) và  \( {{\Delta }_{2}} \) là mặt cầu có bán kính nhỏ nhất.

Ta có tọa độ theo tham số của A, B lần lượt là:  \( A(2t-1;t-1;2t-1);\text{ }B(2s+1;2s+1;s+1) \).

 \( \Rightarrow \overrightarrow{AB}=(2s-2t+2;2s-t+2;s-2t+2) \).

Có  \( {{\vec{u}}_{1}}=(2;1;2) \) và  \( {{\vec{u}}_{2}}=(2;2;1) \) lần lượt là 2 vectơ chỉ phương của  \( {{\Delta }_{1}} \) và  \( {{\Delta }_{2}} \) nên  \( \left\{ \begin{align}  & \overrightarrow{AB}\bot {{{\vec{u}}}_{1}} \\  & \overrightarrow{AB}\bot {{{\vec{u}}}_{2}} \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & (2s-2t+2).2+(2s-t+2).1+(s-2t+2).2=0 \\  & (2s-2t+2).2+(2s-t+2).2+(s-2t+2).1=0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & 8s-9t=-10 \\  & 9s-8t=-10 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & t=\frac{10}{17}\Rightarrow A\left( \frac{3}{17};-\frac{7}{17};\frac{3}{17} \right) \\  & s=-\frac{10}{17}\Rightarrow B\left( -\frac{3}{17};-\frac{3}{17};\frac{7}{17} \right) \\ \end{align} \right.\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( -\frac{6}{17};\frac{4}{17};\frac{4}{17} \right) \).

 \(R=\frac{AB}{2}=\frac{1}{2}\frac{\sqrt{{{(-6)}^{2}}+{{4}^{2}}+{{4}^{2}}}}{17}=\frac{\sqrt{17}}{17} \).

Diện tích mặt cầu cần tính là:  \( S=4\pi {{R}^{2}}=4\pi .\frac{1}{{{\sqrt{17}}^{2}}}=\frac{4\pi }{17} \) (đvdt).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

 

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 7b4a035yn3 may not exist

 

cho mặt cầu (S):(x−1)2+(y−2)2+(z−1)2=9, mặt phẳng (P):x−y+z+3=0 và điểm N(1;0;-4) thuộc (P). Một đường thẳng Δ đi qua N nằm trong (P) cắt (S) tại hai điểm A, B thỏa mãn AB=4

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \( (S):{{(x-1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}+{{(z-1)}^{2}}=9 \), mặt phẳng  \( (P):x-y+z+3=0 \) và điểm N(1;0;-4) thuộc (P). Một đường thẳng  \( \Delta  \) đi qua N nằm trong (P) cắt (S) tại hai điểm A, B thỏa mãn  \( AB=4 \). Gọi  \( \vec{u}=(1;b;c),\text{ }(c>0) \) là một vectơ chỉ phương của  \( \Delta  \), tổng  \( b+c \)  bằng

A. 1

B. 3

C. -1                                 

D. 45

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Ta có mặt cầu (S) có tâm I(1;2;1), bán kính  \( R=3 \).

Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng  \( \Delta  \) và mặt phẳng (P).

Suy ra H là trung điểm của đoạn AB nên:

 \( AH=2\Rightarrow d\left( I,\Delta  \right)=IH=\sqrt{I{{A}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\sqrt{5} \) và  \( IK=d\left( I,(P) \right)=\frac{\left| 1-2+1+3 \right|}{\sqrt{3}}=\sqrt{3} \).

Ta có:  \( \left\{ \begin{align}  & IK\bot (P) \\  & \Delta \subset (P) \\ \end{align} \right.\Rightarrow IK\bot \Delta  \) mà  \( IH\bot \Delta \Rightarrow \Delta \bot KH  \)

hay  \( KH=d\left( K,\Delta  \right) \) và  \( KH=\sqrt{I{{H}^{2}}-I{{K}^{2}}}=\sqrt{2} \).

Do  \( IK\bot (P) \) nên phương trình tham số đường thẳng  \( IK:\left\{ \begin{align}  & x=1+t \\  & y=2-t \\  & z=1+t \\ \end{align} \right.\Rightarrow K(1+t;2-t;1+t) \).

Mà  \( K\in (P)\Rightarrow 1+t-2+t+1+t+3=0\Leftrightarrow t=-1\Rightarrow K(0;3;0) \).

Từ đây ta có:  \( KH=d\left( K,\Delta  \right)=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{KN},\vec{u} \right] \right|}{\left| {\vec{u}} \right|}=\frac{\sqrt{{{(4b-3c)}^{2}}+{{(-c-4)}^{2}}+{{(b+3)}^{2}}}}{\sqrt{1+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\sqrt{2} \)  (*).

Mặt khác, ta có:  \( \Delta \subset (P)\Rightarrow \vec{u}\bot {{\vec{n}}_{P}}=0\Leftrightarrow 1-b+c=0\Leftrightarrow b=c+1 \).

Thay vào (*) ta được:  \( \sqrt{{{(c+4)}^{2}}+{{(-c-4)}^{2}}+{{(c+4)}^{2}}}=\sqrt{2}.\sqrt{1+{{(c+1)}^{2}}+{{c}^{2}}} \)

 \( \Leftrightarrow 3{{c}^{2}}-24c+48=4{{c}^{2}}+4c+4\Leftrightarrow {{c}^{2}}-20c-44=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & c=22\text{ }(n) \\  & c=-2\text{ }(\ell ) \\ \end{align} \right. \).

Suy ra  \( b=23\Rightarrow b+c=45 \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 7b4a035yn3 may not exist

cho mặt phẳng (P):2x−2y+z+3=0 và mặt cầu (S):(x−1)^2+(y+3)2+z2=9 và đường thẳng d:x/−2=y+2/1=z+1/2

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \( (P):2x-2y+z+3=0 \) và mặt cầu  \( (S):{{(x-1)}^{2}}+{{(y+3)}^{2}}+{{z}^{2}}=9 \) và đường thẳng  \( d:\frac{x}{-2}=\frac{y+2}{1}=\frac{z+1}{2} \). Cho các phát biểu sau đây:

(I) Đường thẳng d cắt mặt cầu (S) tại 2 điểm phân biệt.

(II) Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S).

(III) Mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) không có điểm chung.

(IV) Đường thẳng d cắt mặt phẳng (P) tại một điểm.

Số phát biểu đúng là:

A. 4

B. 1

C. 2                                   

D. 3

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Mặt cầu (S) có tâm I(1;-3;0), bán kính  \( R=3 \).

Phương trình tham số của đường thẳng  \( d:\left\{ \begin{align} & x=-2t \\ & y=-2+t \\  & z=-1+2t \\ \end{align} \right. \).

Xét hệ phương trình:  \( \left\{ \begin{align}  & x=-2t \\  & y=-2+t \\  & z=-1+2t \\  & {{(x-1)}^{2}}+{{(y+3)}^{2}}+{{z}^{2}}=9 \\ \end{align} \right.\Rightarrow 9{{t}^{2}}+2t-6=0 \)  (1)

Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt nên d cắt (S) tại 2 điểm phân biệt.

 \( d\left( I,(P) \right)=\frac{\left| 2.1-2.(-3)+0+3 \right|}{3}=\frac{11}{3}>R\Rightarrow (P) \) và (S) không có điểm chung.

Xét hệ phương trình:  \( \left\{ \begin{align}  & x=-2t \\  & y=-2+t \\  & z=-1+2t \\  & 2x-2y+z+3=0 \\ \end{align} \right.\Rightarrow t=\frac{3}{2} \) nên d cắt (P) tại một điểm.

Vậy có 3 phát biểu đúng.

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 7b4a035yn3 may not exist

cho mặt phẳng (P):x+y−z−3=0 và hai điểm M(1;1;1), N(-3;-3;-3). Mặt cầu (S) đi qua M, N và tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại điểm Q. Biết rằng Q luôn thuộc một đường tròn cố định. Tìm bán kính của đường tròn đó.

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \( (P):x+y-z-3=0 \) và hai điểm M(1;1;1), N(-3;-3;-3). Mặt cầu (S) đi qua M, N và tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại điểm Q. Biết rằng Q luôn thuộc một đường tròn cố định. Tìm bán kính của đường tròn đó.

A. \( R=\frac{2\sqrt{11}}{3} \)

B. \( R=6 \)                      

C. \( R=\frac{2\sqrt{33}}{3} \)                                         

D. \( R=4 \)

Hướng dẫn giải:

Chọn B

+ Đường thẳng MN có phương trình là  \( MN:\left\{ \begin{align}  & x=1+t \\  & y=1+t \\  & z=1+t \\ \end{align} \right. \).

+ Gọi  \( I=MN\cap (P) \) khi đó tọa độ điểm I ứng với t thỏa mãn:

 \( 1+t+1+t-1-t-3=0\Leftrightarrow t-2=0\Leftrightarrow t=2\Rightarrow I(3;3;3)\Rightarrow IM=2\sqrt{3},\text{ }IN=6\sqrt{3} \).

+ Do mặt cầu (S) đi qua M, N và tiếp xúc với đường thẳng IQ tại điểm Q nên ta có:

 \( I{{Q}^{2}}=IM.IN=K{{I}^{2}}-{{R}^{2}}\Rightarrow I{{Q}^{2}}=IM.IN=36\Rightarrow IQ=6 \).

Vậy Q luôn thuộc đường tròn tâm I, bán kính  \( R=6 \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 7b4a035yn3 may not exist

cho mặt phẳng (P):z+2=0, K(0;0;-2), đường thẳng d:x/1=y/1=z/1. Phương trình mặt cầu tâm thuộc đường thẳng d và cắt mặt phẳng (P) theo thiết diện là đường tròn tâm K, bán kính r=√5 là

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \( (P):z+2=0 \), K(0;0;-2), đường thẳng  \( d:\frac{x}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z}{1} \). Phương trình mặt cầu tâm thuộc đường thẳng d và cắt mặt phẳng (P) theo thiết diện là đường tròn tâm K, bán kính  \( r=\sqrt{5} \) là:

A. \( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{(z-2)}^{2}}=16 \)

B. \( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=16 \)

C. \( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{(z-2)}^{2}}=9 \)

D. \( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=9 \)

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến  \( \vec{n}=(0;0;1) \).

Viết lại phương trình của đường thẳng d dưới dạng tham số:  \( \left\{ \begin{align}  & x=t \\  & y=t \\  & z=t \\ \end{align} \right. \).

Gọi I là tâm của mặt cầu cần lập. Vì  \( I\in d  \) nên giả sử I(t;t;t).

Có  \( \overrightarrow{IK}=(-t;-t;-2-t) \).

Thiết diện của mặt cầu và mặt phẳng (P) là đường tròn tâm K nên ta có  \( IK\bot (P) \).

Suy ra  \( \overrightarrow{IK} \) và  \( \vec{n}=(0;0;1) \) cùng phương. Do đó tồn tại số thực k để  \( \overrightarrow{IK}=k\vec{n}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & -t=k.0 \\  & -t=k.0 \\  & -2-t=k.1 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & t=0 \\  & k=-2 \\ \end{align} \right. \).

Suy ra I(0;0;0). Tính được  \( d\left( I,(P) \right)=2 \).

Gọi R là bán kính mặt cầu. Ta có:  \( R=\sqrt{{{r}^{2}}+{{\left[ d\left( I,(P) \right) \right]}^{2}}}=3 \).

Vậy mặt cầu cần tìm có phương trình:  \( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=9 \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 7b4a035yn3 may not exist

cho điểm A(0;1;-2), mặt phẳng (P):x+y+z+1=0 và mặt cầu (S):x2+y2+z2−2x−4y−7=0. Gọi Δ là đường thẳng đi qua A và Δ nằm trong mặt phẳng (P) và cắt mặt cầu (S) tại hai điểm B, C sao cho tam giác IBC có diện tích lớn nhất, với I là tâm của mặt cầu (S)

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(0;1;-2), mặt phẳng \( (P):x+y+z+1=0 \) và mặt cầu  \( (S):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-4y-7=0 \). Gọi  \( \Delta  \) là đường thẳng đi qua A và  \( \Delta  \) nằm trong mặt phẳng (P) và cắt mặt cầu (S) tại hai điểm B, C sao cho tam giác IBC có diện tích lớn nhất, với I là tâm của mặt cầu (S). Phương trình của đường thẳng  \( \Delta  \) là:

A. \( \left\{ \begin{align} & x=t \\  & y=1 \\  & z=-2-t \\ \end{align} \right. \) 

B.  \( \left\{ \begin{align}  & x=t \\  & y=1+t \\  & z=-2+t \\ \end{align} \right. \)   

C.  \( \left\{ \begin{align}  & x=t \\  & y=1-t \\  & z=-2 \\ \end{align} \right. \)          

D.  \( \left\{ \begin{align}  & x=t \\  & y=1+t \\  & z=-2 \\ \end{align} \right. \)

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;0) và bán kính  \( R=\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+7}=2\sqrt{3} \).

 \( \overrightarrow{AI}=(1;1;2)\Rightarrow AI=\sqrt{6}<R\Rightarrow A  \) nằm trong mặt cầu (S) và A nằm trên dây cung BC (1).

 \( {{S}_{\Delta IBC}}=\frac{1}{2}IB.IC.\sin \widehat{BIC}=\frac{{{R}^{2}}}{2}\sin \widehat{BIC}\le \frac{{{R}^{2}}}{2} \) nên diện tích  \( \Delta IBC  \) đạt giá trị lớn nhất là  \( \frac{{{R}^{2}}}{2}\Leftrightarrow \sin \widehat{BIC}=1\Rightarrow \widehat{BIC}={{90}^{O}}\Rightarrow \Delta IBC  \) vuông cân tại I  \( \Rightarrow BC=IC\sqrt{2}=R\sqrt{2}=2\sqrt{6} \).

Gọi J là trung điểm của BC. Ta có:  \( IJ\bot BC  \) và  \( IJ=\frac{BC}{2}=\sqrt{6} \)   (2).

 \( \Delta AIJ  \) vuông tại J  \( \Rightarrow AI\ge IJ  \), kết hợp thêm với (1) và (2) ta có  \( IJ=AI\Rightarrow A\equiv J\Rightarrow A  \) là trung điểm của BC và  \( IA\bot BC  \).

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến  \( {{\vec{n}}_{P}}=(1;1;1) \) có giá vuông góc với  \( \Delta  \).

Vậy  \( \Delta  \) nhận  \( \vec{u}=\left[ {{{\vec{n}}}_{P}},\overrightarrow{AI} \right]=(1;-1;0) \) làm vectơ chỉ phương và đi qua A(0;1;-2).

 \( \Rightarrow \Delta :\left\{ \begin{align}  & x=t \\  & y=1-t \\  & z=-2 \\ \end{align} \right. \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 7b4a035yn3 may not exist

cho điểm E(1;1;1), mặt phẳng (P):x−3y+5z−3=0 và mặt cầu (S):x^2+y^2+z^2=4. Gọi Δ là đường thẳng qua E, nằm trong mặt phẳng (P) và cắt (S) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho AB=2. Phương trình đường thẳng Δ là

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm E(1;1;1), mặt phẳng \( (P):x-3y+5z-3=0 \) và mặt cầu  \( (S):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=4 \). Gọi  \( \Delta  \) là đường thẳng qua E, nằm trong mặt phẳng (P) và cắt (S) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho  \( AB=2 \). Phương trình đường thẳng  \( \Delta  \) là:

A. \( \left\{ \begin{align} & x=1-2t \\  & y=2-t \\  & z=1-t \\ \end{align} \right. \)             

B.  \( \left\{ \begin{align}  & x=1+2t \\  & y=1+t \\  & z=1+t \\ \end{align} \right. \)

C.  \( \left\{ \begin{align}  & x=1-2t \\  & y=-3+t \\  & z=5+t \\ \end{align} \right. \)

D.  \( \left\{ \begin{align} & x=1+2t \\  & y=1-t \\  & z=1-t \\ \end{align} \right. \)

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Mặt cầu (S) có tâm I(0;0;0), bán kính  \( R=2 \) .

Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là  \( {{\vec{n}}_{P}}=(1;-3;5) \).

Gọi H là hình chiếu của I lên  \( \Delta \Rightarrow AH=BH=\frac{AB}{2}=1 \).

Xét  \( \Delta IAH  \) vuộng tại H  \( \Rightarrow IH=\sqrt{I{{A}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3} \).

Mặt khác, ta có:  \( \overrightarrow{IE}=(1;1;1)\Rightarrow IE=\sqrt{3}=IH\Rightarrow H\equiv E\Rightarrow IE\bot \Delta  \).

Đường thẳng  \( \Delta  \) đi qua E(1;1;1), vuông góc với IE và chứa trong (P) nên vectơ chỉ phương của  \( \Delta  \):  \( {{\vec{u}}_{\Delta }}=\left[ {{{\vec{n}}}_{P}},\overrightarrow{IE} \right]=(-8;4;4)=-4(2;-1;-1) \) \( \Rightarrow \vec{u}=(2;-1;-1) \) cũng là vectơ chỉ phương của  \( \Delta  \).

Phương trình đường thẳng  \( \Delta  \) là:  \( \left\{ \begin{align} & x=1+2t \\  & y=1-t \\ & z=1-t \\ \end{align} \right. \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 7b4a035yn3 may not exist

cho mặt cầu \( {{(x-3)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}+{{z}^{2}}=4 \) và đường thẳng  \( d:\left\{ \begin{align}  & x=1+2t \\  & y=-1+t \\  & z=-t \\ \end{align} \right.,\text{ }t\in \mathbb{R} \). Mặt phẳng chứa d và cắt (S) theo một đường tròn có bán kính nhỏ nhất có phương trình là

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \( {{(x-3)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}+{{z}^{2}}=4 \) và đường thẳng  \( d:\left\{ \begin{align}  & x=1+2t \\  & y=-1+t \\  & z=-t \\ \end{align} \right.,\text{ }t\in \mathbb{R} \). Mặt phẳng chứa d và cắt (S) theo một đường tròn có bán kính nhỏ nhất có phương trình là:

A. \( y+z+1=0 \)

B.  \( x+3y+5z+2=0 \)   

C.  \( x-2y-3=0 \)             

D.  \( 3x-2y-4z-8=0 \)

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Gọi H là hình chiếu vuông góc của tâm cầu I(3;1;0) lên d, từ đó ta tìm được H(3;0;-1).

Thấy  \( IH\le R  \) nên d cắt (S).

Vậy mặt phẳng cần tìm nhận  \( \overrightarrow{IH}=(0;-1;-1) \) làm vectơ pháp tuyến nên phương trình mặt phẳng là  \( y+z+1=0 \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 7b4a035yn3 may not exist

 

cho điểm E(2;1;3), mặt phẳng (P):2x+2y−z−3=0 và mặt cầu (S):(x−3)^2+(y−2)^2+(z−5)^2=36. Gọi Δ là đường thẳng đi qua E, nằm trong (P) và cắt (S) tại (S) tại hai điểm có khoảng cách nhỏ nhất. Phương trình của Δ là

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm E(2;1;3), mặt phẳng \( (P):2x+2y-z-3=0 \) và mặt cầu  \( (S):{{(x-3)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}+{{(z-5)}^{2}}=36 \). Gọi  \( \Delta  \) là đường thẳng đi qua E, nằm trong (P) và cắt (S) tại (S) tại hai điểm có khoảng cách nhỏ nhất. Phương trình của  \( \Delta  \) là:

A.\( \left\{ \begin{align} & x=2+9t \\  & y=1+9t \\  & z=3+8t \\ \end{align} \right. \)           

B.  \( \left\{ \begin{align}  & x=2-5t \\  & y=1+3t \\  & z=3 \\ \end{align} \right. \)  

C.  \( \left\{ \begin{align}  & z=2+t \\  & y=1-t \\  & z=3 \\ \end{align} \right. \)           

D.  \( \left\{ \begin{align}  & x=2+4t \\  & y=1+3t \\  & z=3-3t \\ \end{align} \right. \)

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Mặt cầu (S) có tâm I(3;2;5) và bán kính  \( R=6 \).

 \( IE=\sqrt{{{1}^{2}}+{{1}^{2}}+{{2}^{2}}}=\sqrt{6}<R\Rightarrow  \) điểm E nằm trong mặt cầu (S).

Gọi H là hình chiếu của I trên mặt phẳng (P), A và B là hai giao điểm của  \( \Delta  \) với (S).

Khi đó,  \( A{{B}_{\min }}\Leftrightarrow AB\bot OE  \), mà  \( AB\bot IH  \) nên  \( AB\bot (HIE)\Rightarrow AB\bot IE  \).

Suy ra:  \( {{\vec{u}}_{\Delta }}=\left[ {{{\vec{n}}}_{P}},\overrightarrow{EI} \right]=(5;-5;0)=5(1;-1;0) \).

Vậy phương trình của  \( \Delta :\left\{ \begin{align}  & x=2+t \\  & y=1-t \\  & z=3 \\ \end{align} \right. \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các bài toán liên quan