Mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;1;1) cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt là tại A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) sao cho thể tích khối tứ diện OABC nhỏ nhất

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Từ giả thiết ta có:  \( a>0,b>0,c>0 \) và thể tích khối tứ diện OABC là: \( {{V}_{OABC}}=\frac{1}{6}abc \).

Ta có phương trình đoạn chắn mặt phẳng (P) có dạng  \( \frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1 \).

Mà  \( M\in (P)\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1 \).

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương, ta có:  \( 1=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge 3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\Rightarrow abc\ge 27 \).

Do đó,  \( {{V}_{OABC}}=\frac{1}{6}abc\ge \frac{9}{2} \). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=3.

Vậy  \( \min {{V}_{OABC}}=\frac{9}{2}\Leftrightarrow a=b=c=3\Rightarrow a+2b+3c=18 \).