Mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;1;1) cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt là tại A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) sao cho thể tích khối tứ diện OABC nhỏ nhất

Mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;1;1) cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt là tại A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) sao cho thể tích khối tứ diện OABC nhỏ nhất. Khi đó \( a+2b+3c  \) bằng

A. 12

B. 21

C. 15                                

D. 18

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Từ giả thiết ta có:  \( a>0,b>0,c>0 \) và thể tích khối tứ diện OABC là: \( {{V}_{OABC}}=\frac{1}{6}abc \).

Ta có phương trình đoạn chắn mặt phẳng (P) có dạng  \( \frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1 \).

Mà  \( M\in (P)\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1 \).

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương, ta có:  \( 1=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge 3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\Rightarrow abc\ge 27 \).

Do đó,  \( {{V}_{OABC}}=\frac{1}{6}abc\ge \frac{9}{2} \). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=3.

Vậy  \( \min {{V}_{OABC}}=\frac{9}{2}\Leftrightarrow a=b=c=3\Rightarrow a+2b+3c=18 \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

 

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *