cho hai điểm A(3;-2;6), B(0;1;0) và mặt cầu (S):(x−1)^2+(y−2)^2+(z−3)^2=25. Mặt phẳng (P):ax+by+cz−2=0 đi qua A, B và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3) và bán kính  \( R=5 \).

Ta có:  \( \left\{ \begin{align}  & A\in (P) \\  & B\in (P) \\ \end{align} \right. \)  \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & 3a-2b+6c-2=0 \\  & b-2=0 \\ \end{align} \right. \)  \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & a=2-2c \\  & b=2 \\ \end{align} \right. \).

Bán kính của đường tròn giao tuyến là:  \( r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{\left[ d\left( I,(P) \right) \right]}^{2}}}=\sqrt{25-{{\left[ d\left( I,(P) \right) \right]}^{2}}} \).

Bán kính của đường tròn giao tuyến nhỏ nhất khi và chỉ khi  \( d\left( I,(P) \right) \) lớn nhất.

Ta có: \(d\left( I,(P) \right)=\frac{\left| a+2b+3c-2 \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\frac{\left| 2-2c+4+3c-2 \right|}{\sqrt{{{(2-2c)}^{2}}+{{2}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\sqrt{\frac{{{(c+4)}^{2}}}{5{{c}^{2}}-8c+8}}\).

Xét  \( f(c)=\sqrt{\frac{{{(c+4)}^{2}}}{5{{c}^{2}}-8c+8}}\Rightarrow {f}'(c)=\frac{-48{{c}^{2}}-144c+192}{{{(5{{c}^{2}}-8c+8)}^{2}}\sqrt{\frac{{{(c+4)}^{2}}}{5{{c}^{2}}-8c+8}}} \).

 \( {f}'(c)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & c=1 \\  & c=-4 \\ \end{align} \right. \).

Bảng biến thiên:

Vậy  \( d\left( I,(P) \right) \) lớn nhất bằng  \( \sqrt{5} \) khi và chỉ khi  \( c=1\Rightarrow a=0,b=2\Rightarrow a+b+c=3 \).