Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu của A’ xuống (ABC) là tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Biết AA’ hợp với đáy (ABC) một góc 60O, thể tích khối lăng trụ là

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Gọi M là trung điểm cạnh BC.

Khi đó: \(AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}\) và \(AO=\frac{2}{3}AM=\frac{a\sqrt{3}}{3}\).

Do  \( A’O\bot \left( ABC \right) \) tại điểm O nên AO là hình chiếu vuông góc của AA’ xuống (ABC). Suy ra góc giữa đường thẳng AA’ và (ABC) là góc  \( \widehat{A’AO}={{60}^{0}} \)

Xét  \( \Delta A’AO \) vuông tại O, ta có:  \( A’O=AO.\tan {{60}^{0}}=\frac{a\sqrt{3}}{3}.\sqrt{3}=a  \)

Vậy thể tích khối lăng trụ là  \( V=A’O.{{S}_{\Delta ABC}}=a.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4} \)