Cho hình trụ (T) có (C) và (C’) là hai đường tròn đáy nội tiếp hai mặt đối diện của một hình lập phương

Cho hình trụ (T) có (C) và (C’) là hai đường tròn đáy nội tiếp hai mặt đối diện của một hình lập phương. Biết rằng, trong tam giác cong tạo bởi đường tròn (C) và hình vuông ngoại tiếp của (C) có một hình chữ nhật kích thước \( a\times 2a \) (như hình vẽ dưới đây). Tính thể tích V của khối trụ (T) theo a.

 

A. \( \frac{100\pi {{a}^{3}}}{3} \).

B.  \( 250\pi {{a}^{3}} \).   

C.  \( \frac{250\pi {{a}^{3}}}{3} \).                                 

D.  \( 100\pi {{a}^{3}} \).

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Ta có  \( BK=2a,\,\,KI=a \) nên  \( BI=a\sqrt{5}\Rightarrow \cos \widehat{KBI}=\frac{1}{\sqrt{5}} \) và  \( \sin \widehat{KBI}=\frac{2}{\sqrt{5}} \).

Khi đó  \( \cos \widehat{OBI}=\cos \left( \widehat{KBI}-\widehat{KBO} \right)=\cos \widehat{KBI}.\cos 45{}^\circ +\sin \widehat{KBI}.\sin 45{}^\circ \)

 \( =\frac{1}{\sqrt{5}}.\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{2}{\sqrt{5}}.\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{5}} \).

Kí hiệu  \( AB=2x \) thì  \( OI=x,\,\,OB=x\sqrt{2} \).

Ta có:  \( O{{I}^{2}}=B{{O}^{2}}+B{{I}^{2}}-2.BO.BI.\cos \widehat{OBI}=2{{x}^{2}}+5{{a}^{2}}-2.x\sqrt{2}.a\sqrt{5}.\frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{5}}=2{{x}^{2}}+5{{a}^{2}}-6xa \)

 \( \Leftrightarrow {{x}^{2}}=2{{x}^{2}}+5{{a}^{2}}-6xa\Leftrightarrow {{x}^{2}}-6xa+5{{a}^{2}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=a \\  & x=5a \\ \end{align} \right. \).

Vì  \( x>a \) nên  \( x=5a \) hay  \( r=OI=5a \).

Vậy thể tích khối trụ (T) là  \( V=\pi .{{(5a)}^{2}}.10a=250\pi {{a}^{3}} \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *