Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, góc giữa AC′ và mặt phẳng (BCC′B′) bằng 30∘

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Gọi bán kính của hình trụ là R.

Ta có:  \( CC’\bot (ABC)\Rightarrow CC’\bot AI \).

Lại có tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A nên  \( AI\bot BC \) do đó  \( AI\bot (BCC’B’) \) hay góc  \( \left( AC’,(BCC’B’) \right)=\widehat{IC’A} \).

Xét tam giác  \( AIC’ \) ta có:  \( IC’=\frac{AI}{\tan \widehat{IC’A}}=R\sqrt{3} \).

Xét tam giác  \( CIC’ \) ta có:  \( IC{{‘}^{2}}=I{{C}^{2}}+CC{{‘}^{2}}\Leftrightarrow 3{{R}^{2}}={{R}^{2}}+4{{a}^{2}}\Rightarrow R=a\sqrt{2} \).

Thể tích khối trụ ngoại tiếp lăng trụ ABC.A’B’C’ là:  \( V=\pi {{R}^{2}}h=4\pi {{a}^{3}} \).