Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):x2+y2+z2−2x−4y+6z−13=0 và đường thẳng d:x+11=y+21=z−11. Điểm M(a;b;c), (a>0) nằm trên đường thẳng d sao cho từ M kẻ được ba tiếp tuyến MA, MB, MC đến mặt cầu (S) (A, B, C là các tiếp điểm) và AMBˆ=60O, BMCˆ=60O và CMAˆ=120O

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;-3) và bán kính \(R=\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{(-3)}^{2}}+13}=3\sqrt{3}\).

Gọi (C) là đường tròn giao tuyến của mặt phẳng (ABC) và mặt cầu (S).

Đặt  \( MA=MB=MC=x  \) khi đó  \( AB=x,\text{ }BC=x\sqrt{2},\text{ }CA=x\sqrt{3} \) do đó tam giác ABC vuông tại B nên trung điểm H của AC là tâm đường tròn (C) và H, I, M thẳng hàng.

Vì  \( \widehat{AMC}={{120}^{O}} \) nên tam giác AIC đều do đó  \( x\sqrt{3}=R\Leftrightarrow x=3 \) suy ra  \( IM=2AM=2x=6 \).

Lại có  \( M\in d  \) nên  \( M(-1+t;-2+t;1+t),\text{ }(t>1) \) mà  \( IM=6 \) nên  \( {{(t-2)}^{2}}+{{(t-4)}^{2}}+{{(t+4)}^{2}}=36 \)

 \( \Leftrightarrow 3{{t}^{2}}-4t=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & t=0 \\  & t=\frac{4}{3} \\ \end{align} \right. \).

Mà  \( a>0 \) nên  \( t=\frac{4}{3}\Rightarrow H\left( \frac{1}{3};-\frac{2}{3};\frac{7}{3} \right)\Rightarrow {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}=\frac{112}{9} \).