cho mặt cầu (S):x2+y2+z2−2x+2z+1=0 và đường thẳng d:x/1=y−2/1=z/−1. Hai mặt phẳng (P), (P′) chứa d và tiếp xúc với (S) tại T, T’. Tìm tọa độ trung điểm H của TT′

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Mặt cầu (S) có tâm I(1;0;-1), bán kính  \( R=1 \).

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương  \( {{\vec{u}}_{d}}=(1;1;-1) \).

Gọi K là hình chiếu của I trên d, ta có:  \( K(t;2+t;-t)\Rightarrow \overrightarrow{IK}=(t-1;t+2;-t+1) \).

Vì  \( IK\bot d  \) nên  \( {{\vec{u}}_{d}}.\overrightarrow{IK}=0\Leftrightarrow t-1+2+t-(-t+1)=0\Leftrightarrow t=0\Rightarrow \overrightarrow{IK}=(-1;2;1) \).

Phương trình tham số của đường thẳng IK là:  \( \left\{ \begin{align}  & x=1-s \\  & y=2s \\  & z=-1+s \\ \end{align} \right. \).

Khi đó, trung điểm H của  \( T{T}’ \) nằm trên IK nên  \( H(1-s;2s;-1+s)\Rightarrow \overrightarrow{IH}=(-s;2s;s) \).

Mặt khác, ta có:  \( \overrightarrow{IH}.\overrightarrow{IK}=I{{T}^{2}}\Leftrightarrow \overrightarrow{IH}.\overrightarrow{IK}=1\Leftrightarrow s+4s+s=1\Leftrightarrow s=\frac{1}{6}\Rightarrow H\left( \frac{5}{6};\frac{1}{3};-\frac{5}{6} \right) \).