cho hai điểm A(0;-1;-1), B(-1;-3;1). Giả sử C, D là hai điểm di động trên mặt phẳng (P):2x+y−2z−1=0 sao cho CD=4 và A, C, D thẳng hàng. Gọi S1, S2 lần lượt là diện tích lớn nhất và nhỏ nhất của tam giác BCD.

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Ta có:  \( \overrightarrow{AB}=(-1;-2;2) \).

Gọi H là hình chiếu của B trên CD ta có  \( BH\le BA  \) nên  \( {{S}_{\Delta BCD}} \) lớn nhất khi  \( H\equiv A  \).

Vậy  \( {{S}_{1}}=\frac{1}{2}BA.CD=\frac{1}{2}.3.4=6 \).

Gọi H₁ là hình chiếu của B trên mặt phẳng (P) khi đó  \( {{S}_{\Delta BCD}}\ge \frac{1}{2}B{{H}_{1}}.CD=\frac{1}{2}d\left( B,(P) \right).CD  \) điều này xảy ra khi A, C, D, H₁ thẳng hàng.

Vậy  \( {{S}_{2}}=\frac{1}{2}d\left( B,(P) \right).CD=\frac{1}{2}.\frac{\left| -2-3-2-1 \right|}{\sqrt{9}}.4=\frac{16}{3} \).

Khi đó:  \( {{S}_{1}}+{{S}_{2}}=6+\frac{16}{3}=\frac{34}{3} \).