cho mặt cầu \( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=9 \) và điểm  \( M({{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}})\in d:\left\{ \begin{align}  & x=1+t \\  & y=1+2t \\  & z=2-3t \\ \end{align} \right. \). Ba điểm A, B, C phân biệt cùng thuộc mặt cầu sao cho MA, MB, MC là tiếp tuyến của mặt cầu. Biết rằng mặt phẳng (SBC) đi qua điểm D(1;1;2). Tổng \( T=x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+z_{0}^{2} \) bằng

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=9 \) và điểm  \( M({{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}})\in d:\left\{ \begin{align}  & x=1+t \\  & y=1+2t \\  & z=2-3t \\ \end{align} \right. \). Ba điểm A, B, C phân biệt cùng thuộc mặt cầu sao cho MA, MB, MC là tiếp tuyến của mặt cầu. Biết rằng mặt phẳng (SBC) đi qua điểm D(1;1;2). Tổng  \( T=x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+z_{0}^{2} \) bằng

A. 30

B. 26

C. 20                                

D. 21

Hướng dẫn giải:

Chọn B

+ Ta có:  \( M({{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}})\in d:\left\{ \begin{align}  & x=1+t \\  & y=1+2t \\ & z=2-3t \\ \end{align} \right.\Rightarrow {{x}_{0}}+{{y}_{0}}+{{z}_{0}}=4 \).

+ Mặt cầu có phương trình:  \( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=9 \) \( \Rightarrow \)  tâm O(0;0;0), bán kính  \( R=3 \).

+ MA, MB, MC là tiếp tuyến của mặt cầu  \( \Rightarrow MO\bot (ABC) \).

 \( \Rightarrow (ABC) \) đi qua D(1;1;2) có vectơ pháp tuyến  \( \overrightarrow{OM}=({{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}}) \) có phương trình dạng:

 \( {{x}_{0}}(x-1)+{{y}_{0}}(y-1)+{{z}_{0}}(z-2)=0 \).

+ MA là tiếp tuyến của mặt cầu tại A  \( \Rightarrow \Delta MOA  \) vuộng tại A  \( \Rightarrow OH.OM=O{{A}^{2}}={{R}^{2}}=9 \).

Gọi H là hình chiếu của O lên (ABC) ( \( OH+OM=HM  \)), ta có:

 \( d\left( O,(ABC) \right)=OH=\frac{\left| -{{x}_{0}}-{{y}_{0}}-2{{z}_{0}} \right|}{\sqrt{x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+z_{0}^{2}}}=\frac{\left| {{x}_{0}}+{{y}_{0}}+{{z}_{0}}+{{z}_{0}} \right|}{\sqrt{x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+z_{0}^{2}}}=\frac{\left| {{z}_{0}}+4 \right|}{OM} \)

 \( \Rightarrow OH.OM=\left| {{z}_{0}}+4 \right|\Rightarrow \left| {{z}_{0}}+4 \right|=9\Rightarrow \left[ \begin{align}  & {{z}_{0}}=5 \\  & {{z}_{0}}=-13 \\ \end{align} \right. \).

+ Với  \( {{z}_{0}}=5\Rightarrow M(0;-1;5)\Rightarrow T=26 \): nhận do  \( OM=\sqrt{26};\text{ }OH=\frac{\left| {{z}_{0}}+4 \right|}{OM}=\frac{9}{\sqrt{26}} \).

Phương trình  \( (ABC):-y+5z-9=0\Rightarrow MH=d\left( M,(ABC) \right)=\frac{17}{\sqrt{26}} \).

 \( \Rightarrow OH+HM=OM  \).

+ Với  \( {{z}_{0}}=-13\Rightarrow M(6;11;-13)\Rightarrow  \) loại do:  \( OM=\sqrt{326};\text{ }OH=\frac{9}{\sqrt{326}} \);

 \( (ABC):6x+11y-13z+9=0\Rightarrow MH=d\left( M,(ABC) \right)=\frac{335}{\sqrt{326}} \).

 \( \Rightarrow OH+HM\ne OM  \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các bài toán liên quan

 

Các bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *