Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=9 \) và điểm \( M({{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}})\in d:\left\{ \begin{align} & x=1+t \\ & y=1+2t \\ & z=2-3t \\ \end{align} \right. \). Ba điểm A, B, C phân biệt cùng thuộc mặt cầu sao cho MA, MB, MC là tiếp tuyến của mặt cầu. Biết rằng mặt phẳng (SBC) đi qua điểm D(1;1;2). Tổng \( T=x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+z_{0}^{2} \) bằng
A. 30
B. 26
C. 20
D. 21
Hướng dẫn giải:
Chọn B
+ Ta có: \( M({{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}})\in d:\left\{ \begin{align} & x=1+t \\ & y=1+2t \\ & z=2-3t \\ \end{align} \right.\Rightarrow {{x}_{0}}+{{y}_{0}}+{{z}_{0}}=4 \).
+ Mặt cầu có phương trình: \( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=9 \) \( \Rightarrow \) tâm O(0;0;0), bán kính \( R=3 \).
+ MA, MB, MC là tiếp tuyến của mặt cầu \( \Rightarrow MO\bot (ABC) \).
\( \Rightarrow (ABC) \) đi qua D(1;1;2) có vectơ pháp tuyến \( \overrightarrow{OM}=({{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}}) \) có phương trình dạng:
\( {{x}_{0}}(x-1)+{{y}_{0}}(y-1)+{{z}_{0}}(z-2)=0 \).
+ MA là tiếp tuyến của mặt cầu tại A \( \Rightarrow \Delta MOA \) vuộng tại A \( \Rightarrow OH.OM=O{{A}^{2}}={{R}^{2}}=9 \).
Gọi H là hình chiếu của O lên (ABC) ( \( OH+OM=HM \)), ta có:
\( d\left( O,(ABC) \right)=OH=\frac{\left| -{{x}_{0}}-{{y}_{0}}-2{{z}_{0}} \right|}{\sqrt{x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+z_{0}^{2}}}=\frac{\left| {{x}_{0}}+{{y}_{0}}+{{z}_{0}}+{{z}_{0}} \right|}{\sqrt{x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+z_{0}^{2}}}=\frac{\left| {{z}_{0}}+4 \right|}{OM} \)
\( \Rightarrow OH.OM=\left| {{z}_{0}}+4 \right|\Rightarrow \left| {{z}_{0}}+4 \right|=9\Rightarrow \left[ \begin{align} & {{z}_{0}}=5 \\ & {{z}_{0}}=-13 \\ \end{align} \right. \).
+ Với \( {{z}_{0}}=5\Rightarrow M(0;-1;5)\Rightarrow T=26 \): nhận do \( OM=\sqrt{26};\text{ }OH=\frac{\left| {{z}_{0}}+4 \right|}{OM}=\frac{9}{\sqrt{26}} \).
Phương trình \( (ABC):-y+5z-9=0\Rightarrow MH=d\left( M,(ABC) \right)=\frac{17}{\sqrt{26}} \).
\( \Rightarrow OH+HM=OM \).
+ Với \( {{z}_{0}}=-13\Rightarrow M(6;11;-13)\Rightarrow \) loại do: \( OM=\sqrt{326};\text{ }OH=\frac{9}{\sqrt{326}} \);
\( (ABC):6x+11y-13z+9=0\Rightarrow MH=d\left( M,(ABC) \right)=\frac{335}{\sqrt{326}} \).
\( \Rightarrow OH+HM\ne OM \).
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!