cho mặt cầu \( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=9 \) và điểm  \( M({{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}})\in d:\left\{ \begin{align}  & x=1+t \\  & y=1+2t \\  & z=2-3t \\ \end{align} \right. \). Ba điểm A, B, C phân biệt cùng thuộc mặt cầu sao cho MA, MB, MC là tiếp tuyến của mặt cầu. Biết rằng mặt phẳng (SBC) đi qua điểm D(1;1;2). Tổng \( T=x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+z_{0}^{2} \) bằng

Hướng dẫn giải:

Chọn B

+ Ta có:  \( M({{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}})\in d:\left\{ \begin{align}  & x=1+t \\  & y=1+2t \\ & z=2-3t \\ \end{align} \right.\Rightarrow {{x}_{0}}+{{y}_{0}}+{{z}_{0}}=4 \).

+ Mặt cầu có phương trình:  \( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=9 \) \( \Rightarrow \)  tâm O(0;0;0), bán kính  \( R=3 \).

+ MA, MB, MC là tiếp tuyến của mặt cầu  \( \Rightarrow MO\bot (ABC) \).

 \( \Rightarrow (ABC) \) đi qua D(1;1;2) có vectơ pháp tuyến  \( \overrightarrow{OM}=({{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}}) \) có phương trình dạng:

 \( {{x}_{0}}(x-1)+{{y}_{0}}(y-1)+{{z}_{0}}(z-2)=0 \).

+ MA là tiếp tuyến của mặt cầu tại A  \( \Rightarrow \Delta MOA  \) vuộng tại A  \( \Rightarrow OH.OM=O{{A}^{2}}={{R}^{2}}=9 \).

Gọi H là hình chiếu của O lên (ABC) ( \( OH+OM=HM  \)), ta có:

 \( d\left( O,(ABC) \right)=OH=\frac{\left| -{{x}_{0}}-{{y}_{0}}-2{{z}_{0}} \right|}{\sqrt{x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+z_{0}^{2}}}=\frac{\left| {{x}_{0}}+{{y}_{0}}+{{z}_{0}}+{{z}_{0}} \right|}{\sqrt{x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+z_{0}^{2}}}=\frac{\left| {{z}_{0}}+4 \right|}{OM} \)

 \( \Rightarrow OH.OM=\left| {{z}_{0}}+4 \right|\Rightarrow \left| {{z}_{0}}+4 \right|=9\Rightarrow \left[ \begin{align}  & {{z}_{0}}=5 \\  & {{z}_{0}}=-13 \\ \end{align} \right. \).

+ Với  \( {{z}_{0}}=5\Rightarrow M(0;-1;5)\Rightarrow T=26 \): nhận do  \( OM=\sqrt{26};\text{ }OH=\frac{\left| {{z}_{0}}+4 \right|}{OM}=\frac{9}{\sqrt{26}} \).

Phương trình  \( (ABC):-y+5z-9=0\Rightarrow MH=d\left( M,(ABC) \right)=\frac{17}{\sqrt{26}} \).

 \( \Rightarrow OH+HM=OM  \).

+ Với  \( {{z}_{0}}=-13\Rightarrow M(6;11;-13)\Rightarrow  \) loại do:  \( OM=\sqrt{326};\text{ }OH=\frac{9}{\sqrt{326}} \);

 \( (ABC):6x+11y-13z+9=0\Rightarrow MH=d\left( M,(ABC) \right)=\frac{335}{\sqrt{326}} \).

 \( \Rightarrow OH+HM\ne OM  \).