Viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng d1 và d2

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Đường thẳng d₁ có vectơ chỉ phương  \( {{\vec{u}}_{1}}=(2;1;0) \).

Đường thẳng d₂ có vectơ chỉ phương  \( {{\vec{u}}_{2}}=(-1;1;0) \).

Để phương trình mặt cầu (S) có bán kính nhỏ nhất và đồng thời tiếp xúc với cả hai đường thẳng d₁ và d₂ khi và chỉ khi:

Tâm mặt cầu (S) nằm trên đoạn thẳng vuông góc chung của 2 đường thẳng d₁ và d₂, đồng thời là trung điểm của đoạn thẳng vuông góc chung.

Gọi điểm  \( M(2t;t;4)\in {{d}_{1}} \) và  \( N(3-s;s;0)\in {{d}_{2}} \) với MN là đoạn vuông góc chung của d₁ và d₂.

Ta có:  \( \overrightarrow{MN}=(3-s-2t;s-t;-4) \).

MN là đoạn thẳng vuông góc chung  \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & \overrightarrow{MN}.{{{\vec{u}}}_{1}}=0 \\  & \overrightarrow{MN}.{{{\vec{u}}}_{2}}=0 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & 2(3-s-2t)+s-t=0 \\  & (-1).(3-s-2t)+s-t=0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & s+5t=6 \\  & 2s+t=3 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & t=1 \\  & s=1 \\ \end{align} \right. \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{align}  & M(2;1;4) \\  & N(2;1;0) \\ \end{align} \right. \).

Gọi điểm I là tâm mặt cầu (S), do đó điểm I là trung điểm MN.

 \( \Rightarrow I(2;1;2)\Rightarrow R=IM=IN=2 \).

Suy ra mặt cầu  \( (S):{{(x-2)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}+{{(z-2)}^{2}}=4 \).