Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \( {{d}_{1}}:\left\{ \begin{align} & x=2t \\ & y=t \\ & z=4 \\ \end{align} \right. \) và \( {{d}_{2}}:\left\{ \begin{align} & x=3-s \\ & y=s \\ & z=0 \\ \end{align} \right. \). Viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng d1 và d2.
A. \( (S):{{(x+2)}^{2}}+{{(y+1)}^{2}}+{{(z+2)}^{2}}=4 \)
B. \( (S):{{(x-2)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}+{{(z-2)}^{2}}=16 \)
C. \( (S):{{(x-2)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}+{{(z-2)}^{2}}=4 \)
D. \( (S):{{(x+2)}^{2}}+{{(y+1)}^{2}}+{{(z+2)}^{2}}=16 \)
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Đường thẳng d1 có vectơ chỉ phương \( {{\vec{u}}_{1}}=(2;1;0) \).
Đường thẳng d2 có vectơ chỉ phương \( {{\vec{u}}_{2}}=(-1;1;0) \).
Để phương trình mặt cầu (S) có bán kính nhỏ nhất và đồng thời tiếp xúc với cả hai đường thẳng d1 và d2 khi và chỉ khi:
Tâm mặt cầu (S) nằm trên đoạn thẳng vuông góc chung của 2 đường thẳng d1 và d2, đồng thời là trung điểm của đoạn thẳng vuông góc chung.
Gọi điểm \( M(2t;t;4)\in {{d}_{1}} \) và \( N(3-s;s;0)\in {{d}_{2}} \) với MN là đoạn vuông góc chung của d1 và d2.
Ta có: \( \overrightarrow{MN}=(3-s-2t;s-t;-4) \).
MN là đoạn thẳng vuông góc chung \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & \overrightarrow{MN}.{{{\vec{u}}}_{1}}=0 \\ & \overrightarrow{MN}.{{{\vec{u}}}_{2}}=0 \\ \end{align} \right. \)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 2(3-s-2t)+s-t=0 \\ & (-1).(3-s-2t)+s-t=0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & s+5t=6 \\ & 2s+t=3 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & t=1 \\ & s=1 \\ \end{align} \right. \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{align} & M(2;1;4) \\ & N(2;1;0) \\ \end{align} \right. \).
Gọi điểm I là tâm mặt cầu (S), do đó điểm I là trung điểm MN.
\( \Rightarrow I(2;1;2)\Rightarrow R=IM=IN=2 \).
Suy ra mặt cầu \( (S):{{(x-2)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}+{{(z-2)}^{2}}=4 \).
Các bài toán liên quan
cho mặt cầu \( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=9 \) và điểm \( M({{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}})\in d:\left\{ \begin{align} & x=1+t \\ & y=1+2t \\ & z=2-3t \\ \end{align} \right. \). Ba điểm A, B, C phân biệt cùng thuộc mặt cầu sao cho MA, MB, MC là tiếp tuyến của mặt cầu. Biết rằng mặt phẳng (SBC) đi qua điểm D(1;1;2). Tổng \( T=x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+z_{0}^{2} \) bằng
Các bài toán mới!
Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!
Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!
- Nhận dạy kèm môn phổ thông: Toán học, Vật lý, Hóa học, Tiếng Anh các lớp 10, 11, 12, LTDH
- Cơ sở 1: Khu đô thị Garden, Thị trấn Đức Tài, Huyện Đức Linh, Tỉnh Bình Thuận
- Cơ sở 2: Số 103/6, Hẻm 528TC, Đường Trường Chinh, Kp. 7, P. Tân Hưng Thuận, Quận 12, Tp. HCM
- Cơ sở 3: số 33/66, hẻm 33, đường số 5, P. Bình Hưng Hòa, Quận Tân Bình, Tp. HCM
- Hotline: 094.625.1920 - Thầy Nhân (Zalo)
- Với đội ngũ gia sư dạy kèm gồm giáo viên và sinh viên ở các trường uy tín nhất, chúng tôi nhận dạy kèm tại nhà và dạy kèm online 1 kèm 1.
- Nhận dạy kèm môn phổ thông: Toán học, Vật lý, Hóa học, Tiếng Anh, Sinh học, Văn học, … các lớp 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, LTDH và các môn ĐH–CĐ: Toán cao cấp, Xác suất thống kê...
- Nhận dạy kèm Tiếng Anh (Giao tiếp, TOEIC, TOEFL, IELTS, ...) - Tiếng Hoa - Tiếng Hàn - Tiếng Nhật (Giao tiếp, chứng chỉ N5, N4, N3, N2, N1), Tin Học (Văn phòng, Đồ họa, Lập trình,...) cho các học viên ở mọi lứa tuổi.
- Nhận dạy kèm các môn năng khiếu: Cờ Vua, Cờ Tướng, Đàn Ghitar, Đàn Dương Cầm,…
- Đ/C Trung Tâm: Số 103/6, Hẻm 528TC, Đường Trường Chinh, Kp. 7, P. Tân Hưng Thuận, Quận 12, Tp. HCM
- Hotline: 094.625.1920 - Thầy Nhân (Zalo)
No comment yet, add your voice below!