Viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng d1 và d2

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \( {{d}_{1}}:\left\{ \begin{align}  & x=2t \\  & y=t \\  & z=4 \\ \end{align} \right. \) và  \( {{d}_{2}}:\left\{ \begin{align}  & x=3-s \\  & y=s \\  & z=0 \\ \end{align} \right. \). Viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng d1 và d2.

A. \( (S):{{(x+2)}^{2}}+{{(y+1)}^{2}}+{{(z+2)}^{2}}=4 \)

B.  \( (S):{{(x-2)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}+{{(z-2)}^{2}}=16 \)

C. \( (S):{{(x-2)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}+{{(z-2)}^{2}}=4 \)

D.  \( (S):{{(x+2)}^{2}}+{{(y+1)}^{2}}+{{(z+2)}^{2}}=16 \)

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Đường thẳng d1 có vectơ chỉ phương  \( {{\vec{u}}_{1}}=(2;1;0) \).

Đường thẳng d2 có vectơ chỉ phương  \( {{\vec{u}}_{2}}=(-1;1;0) \).

Để phương trình mặt cầu (S) có bán kính nhỏ nhất và đồng thời tiếp xúc với cả hai đường thẳng d1 và d2 khi và chỉ khi:

Tâm mặt cầu (S) nằm trên đoạn thẳng vuông góc chung của 2 đường thẳng d1 và d2, đồng thời là trung điểm của đoạn thẳng vuông góc chung.

Gọi điểm  \( M(2t;t;4)\in {{d}_{1}} \) và  \( N(3-s;s;0)\in {{d}_{2}} \) với MN là đoạn vuông góc chung của d1 và d2.

Ta có:  \( \overrightarrow{MN}=(3-s-2t;s-t;-4) \).

MN là đoạn thẳng vuông góc chung  \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & \overrightarrow{MN}.{{{\vec{u}}}_{1}}=0 \\  & \overrightarrow{MN}.{{{\vec{u}}}_{2}}=0 \\ \end{align} \right. \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & 2(3-s-2t)+s-t=0 \\  & (-1).(3-s-2t)+s-t=0 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & s+5t=6 \\  & 2s+t=3 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & t=1 \\  & s=1 \\ \end{align} \right. \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{align}  & M(2;1;4) \\  & N(2;1;0) \\ \end{align} \right. \).

Gọi điểm I là tâm mặt cầu (S), do đó điểm I là trung điểm MN.

 \( \Rightarrow I(2;1;2)\Rightarrow R=IM=IN=2 \).

Suy ra mặt cầu  \( (S):{{(x-2)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}+{{(z-2)}^{2}}=4 \).

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

 

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *