cho mặt phẳng (P):z+2=0, K(0;0;-2), đường thẳng d:x/1=y/1=z/1. Phương trình mặt cầu tâm thuộc đường thẳng d và cắt mặt phẳng (P) theo thiết diện là đường tròn tâm K, bán kính r=√5 là

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến  \( \vec{n}=(0;0;1) \).

Viết lại phương trình của đường thẳng d dưới dạng tham số:  \( \left\{ \begin{align}  & x=t \\  & y=t \\  & z=t \\ \end{align} \right. \).

Gọi I là tâm của mặt cầu cần lập. Vì  \( I\in d  \) nên giả sử I(t;t;t).

Có  \( \overrightarrow{IK}=(-t;-t;-2-t) \).

Thiết diện của mặt cầu và mặt phẳng (P) là đường tròn tâm K nên ta có  \( IK\bot (P) \).

Suy ra  \( \overrightarrow{IK} \) và  \( \vec{n}=(0;0;1) \) cùng phương. Do đó tồn tại số thực k để  \( \overrightarrow{IK}=k\vec{n}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & -t=k.0 \\  & -t=k.0 \\  & -2-t=k.1 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & t=0 \\  & k=-2 \\ \end{align} \right. \).

Suy ra I(0;0;0). Tính được  \( d\left( I,(P) \right)=2 \).

Gọi R là bán kính mặt cầu. Ta có:  \( R=\sqrt{{{r}^{2}}+{{\left[ d\left( I,(P) \right) \right]}^{2}}}=3 \).

Vậy mặt cầu cần tìm có phương trình:  \( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=9 \).