mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;2;1) cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C (A, B, C không trùng với gốc O) sao cho tứ diện OABC có thể tích nhỏ nhất. Mặt phẳng (P) đi qua điểm

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;2;1) cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C (A, B, C không trùng với gốc O) sao cho tứ diện OABC có thể tích nhỏ nhất. Mặt phẳng (P) đi qua điểm nào trong các điểm dưới đây?

A. N(0;2;2)

B. M(0;2;1)

C. P(2;0;0)                       

D. Q(2;0;-1)

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Gọi A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) ( \( a,b,c>0 \)) lần lượt là các điểm của (P) cắt các tia Ox, Oy, Oz.

Ta có:  \( (P):\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1 \).

Vì  \( M\in (P) \) nên ta có  \( \frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c}=1 \)  (1).

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: \(1=\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c}\ge \frac{3\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{abc}}\Leftrightarrow abc\ge 54\).

Thể tích khối chóp  \( {{V}_{OABC}}=\frac{1}{6}abc\ge 9 \).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi  \( \frac{1}{a}=\frac{2}{b}=\frac{1}{c} \)    (2)

Từ (1) và (2) suy ra:  \( a=3;b=6;c=3 \).

Vậy phương trình mặt phẳng  \( (P):\frac{x}{3}+\frac{y}{6}+\frac{z}{3}=1\Rightarrow N(0;2;2)\in (P) \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *