Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;2;1) cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C (A, B, C không trùng với gốc O) sao cho tứ diện OABC có thể tích nhỏ nhất. Mặt phẳng (P) đi qua điểm nào trong các điểm dưới đây?
A. N(0;2;2)
B. M(0;2;1)
C. P(2;0;0)
D. Q(2;0;-1)
Hướng dẫn giải:
Chọn A
Gọi A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) ( \( a,b,c>0 \)) lần lượt là các điểm của (P) cắt các tia Ox, Oy, Oz.
Ta có: \( (P):\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1 \).
Vì \( M\in (P) \) nên ta có \( \frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c}=1 \) (1).
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: \(1=\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c}\ge \frac{3\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{abc}}\Leftrightarrow abc\ge 54\).
Thể tích khối chóp \( {{V}_{OABC}}=\frac{1}{6}abc\ge 9 \).
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \( \frac{1}{a}=\frac{2}{b}=\frac{1}{c} \) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \( a=3;b=6;c=3 \).
Vậy phương trình mặt phẳng \( (P):\frac{x}{3}+\frac{y}{6}+\frac{z}{3}=1\Rightarrow N(0;2;2)\in (P) \).
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!