mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;2;1) cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C (A, B, C không trùng với gốc O) sao cho tứ diện OABC có thể tích nhỏ nhất. Mặt phẳng (P) đi qua điểm

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Gọi A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) ( \( a,b,c>0 \)) lần lượt là các điểm của (P) cắt các tia Ox, Oy, Oz.

Ta có:  \( (P):\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1 \).

Vì  \( M\in (P) \) nên ta có  \( \frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c}=1 \)  (1).

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: \(1=\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c}\ge \frac{3\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{abc}}\Leftrightarrow abc\ge 54\).

Thể tích khối chóp  \( {{V}_{OABC}}=\frac{1}{6}abc\ge 9 \).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi  \( \frac{1}{a}=\frac{2}{b}=\frac{1}{c} \)    (2)

Từ (1) và (2) suy ra:  \( a=3;b=6;c=3 \).

Vậy phương trình mặt phẳng  \( (P):\frac{x}{3}+\frac{y}{6}+\frac{z}{3}=1\Rightarrow N(0;2;2)\in (P) \).