cho A(2;0;0), M(1;1;1). Mặt phẳng (P) thay đổi qua AM và cắt các tia Oy, Oz lần lượt tại B, C. Khi mặt phẳng (P) thay đổi thì diện tích tam giác ABC đạt giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Đặt B(0;b;0), C(0;0;c), với  \( b,c>0 \).

Phương trình của mặt phẳng (P) là:  \( \frac{x}{2}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1 \).

 \( M\in (P)\Leftrightarrow \frac{1}{2}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\Leftrightarrow \frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2} \).

Suy ra:  \( \frac{1}{2}=\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge \frac{2}{\sqrt{bc}}\Rightarrow bc\ge 16 \).

 \( {{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right] \right|=\frac{1}{2}\sqrt{{{b}^{2}}{{c}^{2}}+4{{b}^{2}}+4{{c}^{2}}}\ge \frac{1}{2}\sqrt{{{b}^{2}}{{c}^{2}}+8bc}=\frac{1}{2}\sqrt{{{16}^{2}}+8.16}=4\sqrt{6} \).

Vậy  \( \min {{S}_{\Delta ABC}}=4\sqrt{6}\Leftrightarrow b=c=4 \)