cho A(2;0;0), M(1;1;1). Mặt phẳng (P) thay đổi qua AM và cắt các tia Oy, Oz lần lượt tại B, C. Khi mặt phẳng (P) thay đổi thì diện tích tam giác ABC đạt giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A(2;0;0), M(1;1;1). Mặt phẳng (P) thay đổi qua AM và cắt các tia Oy, Oz lần lượt tại B, C. Khi mặt phẳng (P) thay đổi thì diện tích tam giác ABC đạt giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu?

A. \( 5\sqrt{6} \)

B.  \( 4\sqrt{6} \)                       

C.  \( 3\sqrt{6} \)              

D.  \( 2\sqrt{6} \)

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Đặt B(0;b;0), C(0;0;c), với  \( b,c>0 \).

Phương trình của mặt phẳng (P) là:  \( \frac{x}{2}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1 \).

 \( M\in (P)\Leftrightarrow \frac{1}{2}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\Leftrightarrow \frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2} \).

Suy ra:  \( \frac{1}{2}=\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge \frac{2}{\sqrt{bc}}\Rightarrow bc\ge 16 \).

 \( {{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right] \right|=\frac{1}{2}\sqrt{{{b}^{2}}{{c}^{2}}+4{{b}^{2}}+4{{c}^{2}}}\ge \frac{1}{2}\sqrt{{{b}^{2}}{{c}^{2}}+8bc}=\frac{1}{2}\sqrt{{{16}^{2}}+8.16}=4\sqrt{6} \).

Vậy  \( \min {{S}_{\Delta ABC}}=4\sqrt{6}\Leftrightarrow b=c=4 \)

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 5536128neb may not exist

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *