Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

 \( y=\frac{\left( {{x}^{2}}+4x+3 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+x}}{x\left[ {{f}^{2}}(x)-2f(x) \right]}=\frac{\left( x+1 \right)\left( x+3 \right)\sqrt{x\left( x+1 \right)}}{x.f(x).\left[ f(x)-2 \right]} \)

Điều kiện tồn tại căn  \( \sqrt{{{x}^{2}}+x} \):  \( \left[ \begin{align} & x\ge 0 \\ & x\le -1 \\ \end{align} \right. \)

Xét phương trình  \( x\left[ {{f}^{2}}(x)-2f(x) \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & f(x)=0 \\  & f(x)=2 \\ \end{align} \right. \)

+ Với x = 0 ta có:  \( \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x+1 \right)\left( x+3 \right)\sqrt{x\left( x+1 \right)}}{x.f(x).\left[ f(x)-2 \right]}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x+1 \right)\left( x+3 \right)\sqrt{x+1}}{\sqrt{x}.f(x).\left[ f(x)-2 \right]}=+\infty  \)                        

Suy ra: x = 0 là tiệm cận đứng.

+ Với f(x) = 0  \( \Rightarrow x=-3 \) (nghiệm bội 2) hoặc x = a (loại vì  \( -1<a<0 \))

 Ta có:  \( \underset{x\to {{3}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x+1 \right)\left( x+3 \right)\sqrt{x\left( x+1 \right)}}{x.f(x).\left[ f(x)-2 \right]}=-\infty  \) nên  \( x=-3 \) là tiệm cận đứng.

+ Với f(x) = 2  \( \Rightarrow \left[ \begin{align} & x=-1 \\ & x=b\text{ }\left( -3 < b <-1 \right) \\ & x=c\text{ }\left( c<-3 \right) \\ \end{align} \right. \) (nghiệm bội 1).

Ta có:

\( \left\{ \begin{align}& \underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x+1 \right)\left( x+3 \right)\sqrt{x\left( x+1 \right)}}{x.f(x).\left[ f(x)-2 \right]}=0 \\ & \underset{x\to -{{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x+1 \right)\left( x+3 \right)\sqrt{x\left( x+1 \right)}}{x.f(x).\left[ f(x)-2 \right]}=0 \\ \end{align} \right. \) nên  \( x=-1 \) không là tiệm cận đứng.

 \( \underset{x\to {{b}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x+1 \right)\left( x+3 \right)\sqrt{x\left( x+1 \right)}}{x.f(x).\left[ f(x)-2 \right]}=+\infty  \) (do  \( x\to {{b}^{+}} \) thì  \( f(x)\to {{2}^{+}} \)) nên x = b là tiệm cận đứng.

 \( \underset{x\to {{c}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x+1 \right)\left( x+3 \right)\sqrt{x\left( x+1 \right)}}{x.f(x).\left[ f(x)-2 \right]}=+\infty  \)(do  \( x\to {{c}^{+}} \) thì  \( f(x)\to {{2}^{-}} \)) nên x = c là tiệm cận đứng.

Vậy đồ thị hàm số có 4 tiệm cận đứng.