Hỏi đồ thị hàm số y=(x^2+4x+3)√(x^2+x)/x[f^2(x)−2f(x)] có bao nhiêu đường tiệm cận đứng

Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên.

Hỏi đồ thị hàm số  \( y=\frac{\left( {{x}^{2}}+4x+3 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+x}}{x\left[ {{f}^{2}}(x)-2f(x) \right]} \) có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

A. 2

B. 3

C. 4                                   

D. 6

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

 \( y=\frac{\left( {{x}^{2}}+4x+3 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+x}}{x\left[ {{f}^{2}}(x)-2f(x) \right]}=\frac{\left( x+1 \right)\left( x+3 \right)\sqrt{x\left( x+1 \right)}}{x.f(x).\left[ f(x)-2 \right]} \)

Điều kiện tồn tại căn  \( \sqrt{{{x}^{2}}+x} \):  \( \left[ \begin{align} & x\ge 0 \\ & x\le -1 \\ \end{align} \right. \)

Xét phương trình  \( x\left[ {{f}^{2}}(x)-2f(x) \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & f(x)=0 \\  & f(x)=2 \\ \end{align} \right. \)

+ Với x = 0 ta có:  \( \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x+1 \right)\left( x+3 \right)\sqrt{x\left( x+1 \right)}}{x.f(x).\left[ f(x)-2 \right]}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x+1 \right)\left( x+3 \right)\sqrt{x+1}}{\sqrt{x}.f(x).\left[ f(x)-2 \right]}=+\infty  \)                        

Suy ra: x = 0 là tiệm cận đứng.

+ Với f(x) = 0  \( \Rightarrow x=-3 \) (nghiệm bội 2) hoặc x = a (loại vì  \( -1<a<0 \))

 Ta có:  \( \underset{x\to {{3}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x+1 \right)\left( x+3 \right)\sqrt{x\left( x+1 \right)}}{x.f(x).\left[ f(x)-2 \right]}=-\infty  \) nên  \( x=-3 \) là tiệm cận đứng.

+ Với f(x) = 2  \( \Rightarrow \left[ \begin{align} & x=-1 \\ & x=b\text{ }\left( -3 < b <-1 \right) \\ & x=c\text{ }\left( c<-3 \right) \\ \end{align} \right. \) (nghiệm bội 1).

Ta có:

\( \left\{ \begin{align}& \underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x+1 \right)\left( x+3 \right)\sqrt{x\left( x+1 \right)}}{x.f(x).\left[ f(x)-2 \right]}=0 \\ & \underset{x\to -{{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x+1 \right)\left( x+3 \right)\sqrt{x\left( x+1 \right)}}{x.f(x).\left[ f(x)-2 \right]}=0 \\ \end{align} \right. \) nên  \( x=-1 \) không là tiệm cận đứng.

 \( \underset{x\to {{b}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x+1 \right)\left( x+3 \right)\sqrt{x\left( x+1 \right)}}{x.f(x).\left[ f(x)-2 \right]}=+\infty  \) (do  \( x\to {{b}^{+}} \) thì  \( f(x)\to {{2}^{+}} \)) nên x = b là tiệm cận đứng.

 \( \underset{x\to {{c}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x+1 \right)\left( x+3 \right)\sqrt{x\left( x+1 \right)}}{x.f(x).\left[ f(x)-2 \right]}=+\infty  \)(do  \( x\to {{c}^{+}} \) thì  \( f(x)\to {{2}^{-}} \)) nên x = c là tiệm cận đứng.

Vậy đồ thị hàm số có 4 tiệm cận đứng.

 

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y=1/(2f(x)−1)

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình dưới đây:

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số  \( y=\frac{1}{2f(x)-1} \) là

A. 0                          

B. 1                                   

C. 2                                   

D. 3

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số  \( y=\frac{1}{2f(x)-1} \) đúng bằng số nghiệm thực của phương trình \(2f(x)-1=0\Leftrightarrow f(x)=\frac{1}{2}\).

Mà số nghiệm thực của phương trình \(f(x)=\frac{1}{2}\) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) với đường thẳng  \( y=\frac{1}{2} \).

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đường thẳng  \( y=\frac{1}{2} \) cắt đồ thị hàm số y = f(x) tại 2 điểm phân biệt.

Vậy đồ thị hàm số  \( y=\frac{1}{2f(x)-1} \) có 2 tiệm cận đứng.

Lại có  \( \underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{2f(x)-1}=1 \) \( \Rightarrow \)  đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang là y = 1.

Vậy tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \( y=\frac{1}{2f(x)-1} \) là 3.

 

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Đồ thị hàm số y=1/(2f(x)−5) có bao nhiêu đường tiệm cận đứng

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \( \mathbb{R}\backslash \{1\} \) và có bảng biến thiên như sau:

Đồ thị hàm số  \( y=\frac{1}{2f(x)-5} \) có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

A. 0

B. 4                                   

C. 2                                   

D. 1

Đáp án B.

Ta có:  \( 2f(x)-5=0\Leftrightarrow f(x)=\frac{5}{2} \) (1)

Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt x1, x2, x3, x4  \( \ne  \)1 và giới hạn của hàm số  \( y=\frac{1}{2f(x)-5} \) tại các điểm x1, x2, x3, x4 đều bằng  \( \pm \infty  \).

Mặt khác:  \( \underset{x\to {{1}^{\pm }}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{2f(x)-5}=0 \) nên  \( x=1 \) không phải là tiệm cận đứng.

Vậy đồ thị hàm số  \( y=\frac{1}{2f(x)-5} \) có 4 đường tiệm cận đứng.

Các bài toán mới

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Đồ thị y=1/(2f(x)+3) có bao nhiêu đường tiệm cận đứng

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \( \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\} \) có bảng biến thiên như sau:

Đồ thị  \( y=\frac{1}{2f(x)+3} \) có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

A. 2

B. 0                                   

C. 1                                   

D. 3

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Đặt  \( y=g(x)=\frac{1}{2f(x)+3} \) có tỷ số là  \( 1\ne 0,\forall x\in \mathbb{R} \).

Ta có:  \( 2f(x)+3=0\Leftrightarrow f(x)=-\frac{3}{2} \) (1)

Từ bảng biến thiên, phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt:  \( {{x}_{1}}\in \left( -\infty ;0 \right) \),  \( {{x}_{2}}\in \left( 0;1 \right) \).

Do đó đồ thị hàm số  \( y=\frac{1}{2f(x)+3} \) có 2 đường tiệm cận đứng.

 

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y=1/(2f(x)−1)

Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên \( \mathbb{R} \) và có bảng biến thiên như hình bên dưới:

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số  \( y=\frac{1}{2f(x)-1} \) là

A. 4

B. 3                                   

C. 1                                   

D. 2

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Đặt  \( h(x)=\frac{1}{2f(x)-1} \)

+ Tiệm cận ngang: \(\left\{ \begin{align}& \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,h(x)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{2f(x)-1}=0 \\  & \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,h(x)=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{2f(x)-1}=0 \\ \end{align} \right.\)

Suy ra đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận ngang y = 0.

+ Tiệm cận đứng:

Xét phương trình:  \( 2f(x)-1=0\Leftrightarrow f(x)=\frac{1}{2} \).

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình  \( f(x)=\frac{1}{2} \) có ba nghiệm phân biệt a, b, c thỏa mãn  \( a<1<b<2

Đồng thời  \( \underset{x\to {{a}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,h(x)=\underset{x\to {{b}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,h(x)=\underset{x\to {{c}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,h(x)=+\infty  \) có b đồ thị hàm số là x = a, x = b và x = c.

Vậy tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số  \( y=h(x) \) là 4.

 

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số g(x)=2019/(f(x)−m) có hai tiệm cận đứng

Cho hàm số y = f(x) thỏa mãn \( f(\tan x)={{\cos }^{4}}x  \). Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số  \( g(x)=\frac{2019}{f(x)-m} \) có hai tiệm cận đứng.

A. m < 0

B. 0 < m < 1

C. m > 0                          

D. m < 1

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

 \( f(\tan x)={{\cos }^{4}}x\Leftrightarrow f(\tan x)=\frac{1}{{{\left( 1+{{\tan }^{2}}x \right)}^{2}}} \) \( \Rightarrow f(t)=\frac{1}{{{\left( 1+{{t}^{2}} \right)}^{2}}} \)

Hàm số  \( g(x)=\frac{2019}{f(x)-m}\Rightarrow g(x)=\frac{2019}{\frac{1}{{{\left( 1+{{t}^{2}} \right)}^{2}}}-m} \)

Hàm số g(x) có hai tiệm cận đứng  \( \Leftrightarrow \frac{1}{{{\left( 1+{{t}^{2}} \right)}^{2}}}-m=0 \) có 2 nghiệm phân biệt

 \( \Leftrightarrow {{\left( 1+{{t}^{2}} \right)}^{2}}=\frac{1}{m}\Leftrightarrow 0<m<1 \)

 

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để hàm số y=1/(f(x)+2) có duy nhất một tiệm cận ngang

Cho hàm số \(y=f(x)\) thỏa mãn \( \mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow -\infty} f(x)=-1 \) và \( \mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow +\infty} f(x)=m \). Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để hàm số \(y=\frac{1}{f(x)+2}\) có duy nhất một tiệm cận ngang.

A. 1

B. 0

C. 2                                   

D. Vô số

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Ta có: \( \mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow -\infty} y= \mathop {\lim }\limits_{x\rightarrow -\infty} \frac{1}{f(x)+2}=1\) \(\Rightarrow \) Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang \(y=1\).

Trường hợp 1: Nếu  \( m=-1 \) thì \(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{f(x)+2}=1\) và \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{f(x)+2}=1\) thì đồ thị hàm số có một tiệm cận.

Trường hợp 2: Nếu  \( m\ne -1 \)

Để đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang \(\Leftrightarrow \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{f(x)+2}\Leftrightarrow m+2=0\Leftrightarrow m=-2\)

Vậy khi \(m\in \left\{ -2;-1 \right\}\) thì đồ thị hàm số có duy nhất một tiệm cận ngang.

 

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Hỏi đồ thị hàm số y=1/f(x) có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang

Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên \( \mathbb{R}\backslash \left\{ -1 \right\} \) có bảng biến thiên như sau:

Hỏi đồ thị hàm số  \( y=\frac{1}{f(x)} \) có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang?

A. 4

B. 3                                   

C. 2                                   

D. 1

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Ta có: \( \left\{ \begin{align}& \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=2\Rightarrow \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{f(x)}=\frac{1}{2} \\ & \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=-2\Rightarrow \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{f(x)}=-\frac{1}{2} \\ \end{align} \right. \)

Suy ra đồ thị hàm số  \( y=\frac{1}{f(x)} \) có hai đường tiệm cận ngang là  \( y=\frac{1}{2} \) và  \( y=-\frac{1}{2} \).

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số y = f(x), ta thấy: phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt  \( {{x}_{1}}<-1<{{x}_{2}} \)

Khi đó:  \( f({{x}_{1}})=f({{x}_{2}})=0 \)

Ta có: \( \left\{ \begin{align}& \underset{x\to x_{1}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=0 \\ & f(x)>0\text{ }khi\text{ }x\to x_{1}^{-} \\ \end{align} \right.\Rightarrow \underset{x\to x_{1}^{-}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{f(x)}=+\infty  \)  và  \( \left\{ \begin{align}& \underset{x\to x_{2}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=0 \\ & f(x)>0\text{ }khi\text{ }x\to x_{2}^{-} \\ \end{align} \right.\Rightarrow \underset{x\to x_{2}^{-}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{f(x)}=+\infty \)

Vậy đồ thị hàm số  \( y=\frac{1}{f(x)} \) có hai tiệm cận đứng là đường thẳng x = x1 và x = x2.

Vậy có tổng 4 đường tiệm cận.

 

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y=2019/(f(x)−1)

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ

 

Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số  \( y=\frac{2019}{f(x)-1} \) là:

A. 1

B. 2

C. 3                                   

D. 4

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Từ đồ thị của hàm số y = f(x) suy ra tập xác định của hàm số y = f(x) là  \( D=\mathbb{R} \).

Do đó, số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số  \( y=\frac{2019}{f(x)-1} \) chính là số nghiệm của phương trình f(x) = 1.

Qua đồ thị ta có: Đường thẳng y = 1 cắt đồ thị hàm số y = f(x) tại 3 điểm phân biệt nên phương trình f(x) = 1 có 3 nghiệm phân biệt.

Vậy đồ thị hàm số  \( y=\frac{2019}{f(x)-1} \) có 3 đường tiệm cận đứng.

 

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Khi đó đường thẳng nào sau đây là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y=1/(f(x)−2)

Cho đồ thị hàm số \( y=f(x)=\frac{3x-1}{x-1} \). Khi đó đường thẳng nào sau đây là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(  y=\frac{1}{f(x)-2} \)?

A. x = 1

B. \( x=-2 \)                     

C.  \( x=-1 \)                     

D. x = 2

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

 \( f(x)=2\Leftrightarrow \frac{3x-1}{x-1}=2 \)  \( \Rightarrow 3x-1=2x-2\Leftrightarrow x=-1 \)

Với  \( y=\frac{1}{f(x)-2} \), ta có: \( \left\{ \begin{align}& \underset{x\to {{(-1)}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,y=-\infty  \\ & \underset{x\to {{(-1)}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,y=+\infty  \\ \end{align} \right. \)

Vậy đồ thị hàm số  \( y=\frac{1}{f(x)-2} \) có đường tiệm cận đứng  \( x=-1 \).