Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên.
Hỏi đồ thị hàm số \( y=\frac{\left( {{x}^{2}}+4x+3 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+x}}{x\left[ {{f}^{2}}(x)-2f(x) \right]} \) có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
A. 2
B. 3
C. 4
D. 6
Hướng dẫn giải:
Đáp án C.
\( y=\frac{\left( {{x}^{2}}+4x+3 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+x}}{x\left[ {{f}^{2}}(x)-2f(x) \right]}=\frac{\left( x+1 \right)\left( x+3 \right)\sqrt{x\left( x+1 \right)}}{x.f(x).\left[ f(x)-2 \right]} \)
Điều kiện tồn tại căn \( \sqrt{{{x}^{2}}+x} \): \( \left[ \begin{align} & x\ge 0 \\ & x\le -1 \\ \end{align} \right. \)
Xét phương trình \( x\left[ {{f}^{2}}(x)-2f(x) \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & f(x)=0 \\ & f(x)=2 \\ \end{align} \right. \)
+ Với x = 0 ta có: \( \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x+1 \right)\left( x+3 \right)\sqrt{x\left( x+1 \right)}}{x.f(x).\left[ f(x)-2 \right]}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x+1 \right)\left( x+3 \right)\sqrt{x+1}}{\sqrt{x}.f(x).\left[ f(x)-2 \right]}=+\infty \)
Suy ra: x = 0 là tiệm cận đứng.
+ Với f(x) = 0 \( \Rightarrow x=-3 \) (nghiệm bội 2) hoặc x = a (loại vì \( -1<a<0 \))
Ta có: \( \underset{x\to {{3}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x+1 \right)\left( x+3 \right)\sqrt{x\left( x+1 \right)}}{x.f(x).\left[ f(x)-2 \right]}=-\infty \) nên \( x=-3 \) là tiệm cận đứng.
+ Với f(x) = 2 \( \Rightarrow \left[ \begin{align} & x=-1 \\ & x=b\text{ }\left( -3 < b <-1 \right) \\ & x=c\text{ }\left( c<-3 \right) \\ \end{align} \right. \) (nghiệm bội 1).
Ta có:
\( \left\{ \begin{align}& \underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x+1 \right)\left( x+3 \right)\sqrt{x\left( x+1 \right)}}{x.f(x).\left[ f(x)-2 \right]}=0 \\ & \underset{x\to -{{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x+1 \right)\left( x+3 \right)\sqrt{x\left( x+1 \right)}}{x.f(x).\left[ f(x)-2 \right]}=0 \\ \end{align} \right. \) nên \( x=-1 \) không là tiệm cận đứng.
\( \underset{x\to {{b}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x+1 \right)\left( x+3 \right)\sqrt{x\left( x+1 \right)}}{x.f(x).\left[ f(x)-2 \right]}=+\infty \) (do \( x\to {{b}^{+}} \) thì \( f(x)\to {{2}^{+}} \)) nên x = b là tiệm cận đứng.
\( \underset{x\to {{c}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x+1 \right)\left( x+3 \right)\sqrt{x\left( x+1 \right)}}{x.f(x).\left[ f(x)-2 \right]}=+\infty \)(do \( x\to {{c}^{+}} \) thì \( f(x)\to {{2}^{-}} \)) nên x = c là tiệm cận đứng.
Vậy đồ thị hàm số có 4 tiệm cận đứng.
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng