Số nghiệm thực phân biệt của phương trình f(ef(x)+f(x))=1 là

Hàm số y = f(x) có đồ thị là đường cong trong hình vẽ. Số nghiệm thực phân biệt của phương trình \( f\left( {{e}^{f(x)}}+f(x) \right)=1 \) là:

A. 2.

B. 4.

C. 6.                                  

D. 8.

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Dựa vào đồ thị hàm số ta có  \( f(x)=1\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=-1 \\  & x=1 \\ \end{align} \right. \).

Đặt  \( t=f(x) \), khi đó ta có phương trình  \( f\left( {{e}^{f(x)}}+f(x) \right)=1 \) (*) trở thành  \( f({{e}^{t}}+t)=1\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& {{e}^{t}}+t=-1 \\  & {{e}^{t}}+t=1 \\ \end{align} \right. \) \( f({{e}^{t}}+t)=1\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{e}^{t}}+t=-1 \\  & {{e}^{t}}+t=1 \\ \end{align} \right. \).

Xét hàm số  \( g(t)={{e}^{t}}+t \) là hàm số đồng biến trên  \( \mathbb{R} \) nên ta có phương trình  \( {{e}^{t}}+t=1 \) có nghiệm duy nhất  \( t=0 \).

Xét phương trình  \( {{e}^{t}}+t=-1 \), dựa vào sự tương giao của đồ thị hàm số  \( g(t)={{e}^{t}}+t \) và đường thẳng  \( y=-1 \) ta có phương trình có nghiệm duy nhất  \( t=a\in (-2;-1) \).

Dựa vào sự tương giao của đồ thị ta có:

+ Với  \( t=0\Rightarrow f(x)=0 \) nên phương trình có 2 nghiệm thì phương trình (*) có 4 nghiệm.

+ Với  \( t=a\in (-2;-1)\Rightarrow f(x)=a\in (-2;-1) \) nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm.

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *