Số nghiệm thực phân biệt của phương trình f(ef(x)+f(x))=1 là

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Dựa vào đồ thị hàm số ta có  \( f(x)=1\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=-1 \\  & x=1 \\ \end{align} \right. \).

Đặt  \( t=f(x) \), khi đó ta có phương trình  \( f\left( {{e}^{f(x)}}+f(x) \right)=1 \) (*) trở thành  \( f({{e}^{t}}+t)=1\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& {{e}^{t}}+t=-1 \\  & {{e}^{t}}+t=1 \\ \end{align} \right. \) \( f({{e}^{t}}+t)=1\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{e}^{t}}+t=-1 \\  & {{e}^{t}}+t=1 \\ \end{align} \right. \).

Xét hàm số  \( g(t)={{e}^{t}}+t \) là hàm số đồng biến trên  \( \mathbb{R} \) nên ta có phương trình  \( {{e}^{t}}+t=1 \) có nghiệm duy nhất  \( t=0 \).

Xét phương trình  \( {{e}^{t}}+t=-1 \), dựa vào sự tương giao của đồ thị hàm số  \( g(t)={{e}^{t}}+t \) và đường thẳng  \( y=-1 \) ta có phương trình có nghiệm duy nhất  \( t=a\in (-2;-1) \).

Dựa vào sự tương giao của đồ thị ta có:

+ Với  \( t=0\Rightarrow f(x)=0 \) nên phương trình có 2 nghiệm thì phương trình (*) có 4 nghiệm.

+ Với  \( t=a\in (-2;-1)\Rightarrow f(x)=a\in (-2;-1) \) nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm.