Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số g(x) trên đoạn [1;4] bằng

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Từ đồ thị suy ra  \( f(x)={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}-3\Rightarrow {f}'(x)=4{{x}^{3}}-4x \)

Đặt  \( t=\sqrt{{{x}^{2}}-4x+6},x\in [1;4]\Rightarrow t\in \left[ \sqrt{2};\sqrt{6} \right] \).

Ta có:  \( g(x)=f\left( \sqrt{{{x}^{2}}-4x+6} \right)-2({{x}^{2}}-4x+6)\sqrt{{{x}^{2}}-4x+6}+1 \).

Suy ra hàm số đã cho trở thành

\(h(t)=f(t)-2{{t}^{3}}+1\Rightarrow {h}'(t)={f}'(t)-6{{t}^{2}}\).

 \( h(t)=0\Leftrightarrow {f}'(t)-6{{t}^{2}}=0\Leftrightarrow 4{{t}^{3}}-6{{t}^{2}}-4t=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & t=0\notin (\sqrt{2};\sqrt{6}) \\  & t=-\frac{1}{2}\notin (\sqrt{2};\sqrt{6}) \\  & t=2\in (\sqrt{2};\sqrt{6}) \\ \end{align} \right. \).

Ta có:

 \( h(\sqrt{2})=f(\sqrt{2})-2\cdot {{(\sqrt{2})}^{3}}+1=-2-4\sqrt{2} \).

 \( h(2)=f(2)-2\cdot {{(2)}^{3}}+1=-10 \).

 \( h(\sqrt{6})=f(\sqrt{6})-2\cdot {{(\sqrt{6})}^{3}}+1=22-12\sqrt{6} \).

Suy ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số h(t) trên đoạn  \( \left[ \sqrt{2};\sqrt{6} \right] \) lần lượt là  \( 22-12\sqrt{6} \) và  \( -10 \).

Vậy tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của g(x) trên  \( [1;4] \) là tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của h(t) trên  \( \left[ \sqrt{2};\sqrt{6} \right] \) và bằng  \( 12-12\sqrt{6} \).