Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số g(x) trên đoạn [1;4] bằng

Cho hàm số \( y=f(x) \) liên tục trên  \( \mathbb{R} \) và có đồ thị như hình vẽ dưới đây:

Đặt  \( g(x)=f\left( \sqrt{{{x}^{2}}-4x+6} \right)-2({{x}^{2}}-4x)\sqrt{{{x}^{2}}-4x+6}-12\sqrt{{{x}^{2}}-4x+6}+1 \). Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số g(x) trên đoạn  \( [1;4] \) bằng

A. \( 12-2\sqrt{4} \).

B.  \( -12-12\sqrt{6} \).    

C.  \( -12-2\sqrt{4} \).      

D.  \( 12-12\sqrt{6} \).

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Từ đồ thị suy ra  \( f(x)={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}-3\Rightarrow {f}'(x)=4{{x}^{3}}-4x \)

Đặt  \( t=\sqrt{{{x}^{2}}-4x+6},x\in [1;4]\Rightarrow t\in \left[ \sqrt{2};\sqrt{6} \right] \).

Ta có:  \( g(x)=f\left( \sqrt{{{x}^{2}}-4x+6} \right)-2({{x}^{2}}-4x+6)\sqrt{{{x}^{2}}-4x+6}+1 \).

Suy ra hàm số đã cho trở thành

\(h(t)=f(t)-2{{t}^{3}}+1\Rightarrow {h}'(t)={f}'(t)-6{{t}^{2}}\).

 \( h(t)=0\Leftrightarrow {f}'(t)-6{{t}^{2}}=0\Leftrightarrow 4{{t}^{3}}-6{{t}^{2}}-4t=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & t=0\notin (\sqrt{2};\sqrt{6}) \\  & t=-\frac{1}{2}\notin (\sqrt{2};\sqrt{6}) \\  & t=2\in (\sqrt{2};\sqrt{6}) \\ \end{align} \right. \).

Ta có:

 \( h(\sqrt{2})=f(\sqrt{2})-2\cdot {{(\sqrt{2})}^{3}}+1=-2-4\sqrt{2} \).

 \( h(2)=f(2)-2\cdot {{(2)}^{3}}+1=-10 \).

 \( h(\sqrt{6})=f(\sqrt{6})-2\cdot {{(\sqrt{6})}^{3}}+1=22-12\sqrt{6} \).

Suy ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số h(t) trên đoạn  \( \left[ \sqrt{2};\sqrt{6} \right] \) lần lượt là  \( 22-12\sqrt{6} \) và  \( -10 \).

Vậy tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của g(x) trên  \( [1;4] \) là tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của h(t) trên  \( \left[ \sqrt{2};\sqrt{6} \right] \) và bằng  \( 12-12\sqrt{6} \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *