Cho hàm số \( y=f(x) \) liên tục trên \( \mathbb{R} \). Biết \( f(4x)=f(x)+4{{x}^{3}}+2x \) và \( f(0)=2 \). Tính \( I=\int\limits_{0}^{2}{f(x)dx} \).
A. \( \frac{147}{63} \)
B. \( \frac{149}{63} \)
C. \( \frac{148}{63} \)
D. \( \frac{352}{63} \)
Hướng dẫn giải:
Đáp án D.
Ta có: \( f(4x)=f(x)+4{{x}^{3}}+2x\Rightarrow f(4x)-f(x)=4{{x}^{3}}+2x \)
Suy ra: \( f(x) \) và \( f(4x) \) là hàm số bậc ba.
Khi đó: \( f(x)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\text{ }\left( a\ne 0 \right) \) và \( f(4x)=64a{{x}^{3}}+16b{{x}^{2}}+4cx+d \).
Ta có: \( f(4x)-f(x)=63a{{x}^{3}}+15b{{x}^{2}}+3cx=4{{x}^{3}}+2x \)
Suy ra: \( \left\{ \begin{align} & a=\frac{4}{63} \\ & b=0 \\ & c=\frac{2}{3} \\ \end{align} \right. \).
Mặt khác: \( f(0)=2\Rightarrow d=2 \).
Do đó, \( f(x)=\frac{4}{63}{{x}^{3}}+\frac{2}{3}x+2 \).
Vậy \( I=\int\limits_{0}^{2}{f(x)dx}=\int\limits_{0}^{2}{\left( \frac{4}{63}{{x}^{3}}+\frac{2}{3}x+2 \right)dx}=\frac{352}{63} \).
+ Chứng minh f(x) là duy nhất.
Ta có: \( f(x)=\frac{4}{63}{{x}^{3}}+\frac{2}{3}x+2 \), \( f(4x)=\frac{256}{63}{{x}^{3}}+\frac{8}{3}x+2 \) và \( f(4x)-f(x)=4{{x}^{3}}+2x \).
Suy ra: \( f(4x)-\frac{4}{63}{{(4x)}^{3}}-\frac{2}{3}(4x)=f(x)-\frac{4}{63}{{x}^{3}}-\frac{2}{3}x \).
Đặt \( g(4x)=f(4x)-\frac{4}{63}{{(4x)}^{3}}-\frac{2}{3}(4x) \) và \( g(x)=f(x)-\frac{4}{63}{{x}^{3}}-\frac{2}{3}x \).
Ta có: \( g(4x)=g(x);\text{ }g(0)=f(0)=2 \).
Suy ra: \( g(x)=g\left( \frac{x}{4} \right)=g\left( \frac{x}{{{4}^{2}}} \right)=…=g\left( \frac{x}{{{4}^{n}}} \right),\text{ }n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \).
Khi \( n\to +\infty \) suy ra \( g(x)=g(0)=2 \).
Vậy \( f(x)=\frac{4}{63}{{x}^{3}}+\frac{2}{3}x+2,\forall x\in \mathbb{R} \)
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!