Cho hàm số \( y=f(x) \) liên tục trên \( \mathbb{R} \). Biết \( f(4x)=f(x)+4{{x}^{3}}+2x \) và  \( f(0)=2 \). Tính \( I=\int\limits_{0}^{2}{f(x)dx} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Ta có:  \( f(4x)=f(x)+4{{x}^{3}}+2x\Rightarrow f(4x)-f(x)=4{{x}^{3}}+2x  \)

Suy ra:  \( f(x) \) và  \( f(4x) \) là hàm số bậc ba.

Khi đó:  \( f(x)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\text{ }\left( a\ne 0 \right) \) và  \( f(4x)=64a{{x}^{3}}+16b{{x}^{2}}+4cx+d  \).

Ta có:  \( f(4x)-f(x)=63a{{x}^{3}}+15b{{x}^{2}}+3cx=4{{x}^{3}}+2x  \)

Suy ra:  \( \left\{ \begin{align}  & a=\frac{4}{63} \\  & b=0 \\  & c=\frac{2}{3} \\ \end{align} \right. \).

Mặt khác:  \( f(0)=2\Rightarrow d=2 \).

Do đó,  \( f(x)=\frac{4}{63}{{x}^{3}}+\frac{2}{3}x+2 \).

Vậy  \( I=\int\limits_{0}^{2}{f(x)dx}=\int\limits_{0}^{2}{\left( \frac{4}{63}{{x}^{3}}+\frac{2}{3}x+2 \right)dx}=\frac{352}{63} \).

+ Chứng minh f(x) là duy nhất.

Ta có:  \( f(x)=\frac{4}{63}{{x}^{3}}+\frac{2}{3}x+2 \),  \( f(4x)=\frac{256}{63}{{x}^{3}}+\frac{8}{3}x+2 \) và  \( f(4x)-f(x)=4{{x}^{3}}+2x  \).

Suy ra:  \( f(4x)-\frac{4}{63}{{(4x)}^{3}}-\frac{2}{3}(4x)=f(x)-\frac{4}{63}{{x}^{3}}-\frac{2}{3}x  \).

Đặt  \( g(4x)=f(4x)-\frac{4}{63}{{(4x)}^{3}}-\frac{2}{3}(4x) \) và  \( g(x)=f(x)-\frac{4}{63}{{x}^{3}}-\frac{2}{3}x  \).

Ta có:  \( g(4x)=g(x);\text{ }g(0)=f(0)=2 \).

Suy ra:  \( g(x)=g\left( \frac{x}{4} \right)=g\left( \frac{x}{{{4}^{2}}} \right)=…=g\left( \frac{x}{{{4}^{n}}} \right),\text{ }n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \).

Khi  \( n\to +\infty  \) suy ra  \( g(x)=g(0)=2 \).

Vậy  \( f(x)=\frac{4}{63}{{x}^{3}}+\frac{2}{3}x+2,\forall x\in \mathbb{R} \)