Cho hàm số \( y=f(x) \) liên tục, có đạo hàm trên \( \mathbb{R} \) thỏa mãn điều kiện \( f(x)+x\left( {f}'(x)-2\sin x \right)={{x}^{2}}\cos x,\text{ }\forall x\in \mathbb{R} \) và \( f\left( \frac{\pi }{2} \right)=\frac{\pi }{2} \). Tính \( \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{x{f}”(x)dx} \).
A. 0
B. \( \frac{\pi }{2} \)
C. 1
D. \( \pi \)
Hướng dẫn giải:
Đáp án A.
Từ giả thiết: \( f(x)+x\left( {f}'(x)-2\sin x \right)={{x}^{2}}\cos x,\text{ }\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow f(x)+x{f}'(x)={{x}^{2}}\cos x+2x\sin x \)
\( \Leftrightarrow {{\left( xf(x) \right)}^{\prime }}={{\left( {{x}^{2}}\sin x \right)}^{\prime }}\Leftrightarrow \int{{{\left( xf(x) \right)}^{\prime }}dx=\int{{{\left( {{x}^{2}}\sin x \right)}^{\prime }}dx}}\Leftrightarrow xf(x)={{x}^{2}}\sin x+C \).
Mặt khác: \( f\left( \frac{\pi }{2} \right)=\frac{\pi }{2}\Rightarrow \frac{\pi }{2}.\frac{\pi }{2}={{\left( \frac{\pi }{2} \right)}^{2}}.\sin \frac{\pi }{2}+C\Rightarrow C=0 \).
\( \Rightarrow f(x)=x\sin x\Rightarrow {f}'(x)=\sin x+x\cos x \).
Xét \( \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{x{f}”(x)dx} \).
Đặt: \( \left\{ \begin{align} & u=x\Rightarrow du=dx \\ & dv={f}”(x)dx\Rightarrow v={f}'(x) \\ \end{align} \right. \).
Khi đó: \( \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{x{f}”(x)dx}=\left. x{f}'(x) \right|_{0}^{\frac{\pi }{2}}-\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{{f}'(x)dx}=\left. \left[ x.(\sin x+x\cos x)-f(x) \right] \right|_{0}^{\frac{\pi }{2}} \)
\( =\left. \left[ x.(\sin x+x\cos x)-x\sin x \right] \right|_{0}^{\frac{\pi }{2}}=\left. {{x}^{2}}\cos x \right|_{0}^{\frac{\pi }{2}}=0 \).
Các bài toán liên quan
Các bài toán mới!
Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!
Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!
- Nhận dạy kèm môn phổ thông: Toán học, Vật lý, Hóa học, Tiếng Anh các lớp 10, 11, 12, LTDH
- Cơ sở 1: Khu đô thị Garden, Thị trấn Đức Tài, Huyện Đức Linh, Tỉnh Bình Thuận
- Cơ sở 2: Số 103/6, Hẻm 528TC, Đường Trường Chinh, Kp. 7, P. Tân Hưng Thuận, Quận 12, Tp. HCM
- Cơ sở 3: số 33/66, hẻm 33, đường số 5, P. Bình Hưng Hòa, Quận Tân Bình, Tp. HCM
- Hotline: 094.625.1920 - Thầy Nhân (Zalo)
- Với đội ngũ gia sư dạy kèm gồm giáo viên và sinh viên ở các trường uy tín nhất, chúng tôi nhận dạy kèm tại nhà và dạy kèm online 1 kèm 1.
- Nhận dạy kèm môn phổ thông: Toán học, Vật lý, Hóa học, Tiếng Anh, Sinh học, Văn học, … các lớp 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, LTDH và các môn ĐH–CĐ: Toán cao cấp, Xác suất thống kê...
- Nhận dạy kèm Tiếng Anh (Giao tiếp, TOEIC, TOEFL, IELTS, ...) - Tiếng Hoa - Tiếng Hàn - Tiếng Nhật (Giao tiếp, chứng chỉ N5, N4, N3, N2, N1), Tin Học (Văn phòng, Đồ họa, Lập trình,...) cho các học viên ở mọi lứa tuổi.
- Nhận dạy kèm các môn năng khiếu: Cờ Vua, Cờ Tướng, Đàn Ghitar, Đàn Dương Cầm,…
- Đ/C Trung Tâm: Số 103/6, Hẻm 528TC, Đường Trường Chinh, Kp. 7, P. Tân Hưng Thuận, Quận 12, Tp. HCM
- Hotline: 094.625.1920 - Thầy Nhân (Zalo)
No comment yet, add your voice below!