Cho hàm số \( y=f(x) \) liên tục, có đạo hàm trên \( \mathbb{R} \) thỏa mãn điều kiện \( f(x)+x\left( {f}'(x)-2\sin x \right)={{x}^{2}}\cos x,\text{ }\forall x\in \mathbb{R} \) và \( f\left( \frac{\pi }{2} \right)=\frac{\pi }{2} \). Tính \( \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{x{f}”(x)dx} \)

Cho hàm số \( y=f(x) \) liên tục, có đạo hàm trên  \( \mathbb{R} \) thỏa mãn điều kiện  \( f(x)+x\left( {f}'(x)-2\sin x \right)={{x}^{2}}\cos x,\text{ }\forall x\in \mathbb{R} \) và  \( f\left( \frac{\pi }{2} \right)=\frac{\pi }{2} \). Tính  \( \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{x{f}”(x)dx} \).

A. 0

B.  \( \frac{\pi }{2} \)        

C. 1                                   

D.  \( \pi \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Từ giả thiết:  \( f(x)+x\left( {f}'(x)-2\sin x \right)={{x}^{2}}\cos x,\text{ }\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow f(x)+x{f}'(x)={{x}^{2}}\cos x+2x\sin x \)

 \( \Leftrightarrow {{\left( xf(x) \right)}^{\prime }}={{\left( {{x}^{2}}\sin x \right)}^{\prime }}\Leftrightarrow \int{{{\left( xf(x) \right)}^{\prime }}dx=\int{{{\left( {{x}^{2}}\sin x \right)}^{\prime }}dx}}\Leftrightarrow xf(x)={{x}^{2}}\sin x+C \).

Mặt khác:  \( f\left( \frac{\pi }{2} \right)=\frac{\pi }{2}\Rightarrow \frac{\pi }{2}.\frac{\pi }{2}={{\left( \frac{\pi }{2} \right)}^{2}}.\sin \frac{\pi }{2}+C\Rightarrow C=0 \).

 \( \Rightarrow f(x)=x\sin x\Rightarrow {f}'(x)=\sin x+x\cos x \).

Xét  \( \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{x{f}”(x)dx} \).

Đặt: \( \left\{ \begin{align}  & u=x\Rightarrow du=dx \\ & dv={f}”(x)dx\Rightarrow v={f}'(x) \\ \end{align} \right. \).

Khi đó:  \( \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{x{f}”(x)dx}=\left. x{f}'(x) \right|_{0}^{\frac{\pi }{2}}-\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{{f}'(x)dx}=\left. \left[ x.(\sin x+x\cos x)-f(x) \right] \right|_{0}^{\frac{\pi }{2}} \)

 \( =\left. \left[ x.(\sin x+x\cos x)-x\sin x \right] \right|_{0}^{\frac{\pi }{2}}=\left. {{x}^{2}}\cos x \right|_{0}^{\frac{\pi }{2}}=0 \).

Các bài toán liên quan

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Fanpage Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Nhân Tài Việt

Fanpage Trung Tâm Gia Sư Dạy Kèm Nhân Tài Việt

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *