Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên \( \left[ 1;2 \right] \) thỏa mãn  \( \int\limits_{1}^{2}{{{(x-1)}^{2}}f(x)dx}=-\frac{1}{3} \),  \( f(2)=0 \) và  \( \int\limits_{1}^{2}{{{\left[ {f}'(x) \right]}^{2}}dx}=7 \). Tính tích phân \( I=\int\limits_{1}^{2}{f(x)dx} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

+ Xét  \( \int\limits_{1}^{2}{{{(x-1)}^{2}}f(x)dx}=-\frac{1}{3} \).

Đặt \(\left\{ \begin{align}  & u=f(x)\Rightarrow du={f}'(x)dx \\  & dv={{(x-1)}^{2}}dx\Rightarrow v=\frac{1}{3}{{(x-1)}^{3}} \\ \end{align} \right.\).

Khi đó: \(\int\limits_{1}^{2}{{{(x-1)}^{2}}f(x)dx}=\frac{1}{3}\left[ \left. {{(x-1)}^{3}}f(x) \right|_{1}^{2}-\int\limits_{1}^{2}{{{(x-1)}^{3}}{f}'(x)dx} \right]=-\frac{1}{3}\int\limits_{1}^{2}{{{(x-1)}^{3}}{f}'(x)dx}=-\frac{1}{3}\).

\(\Rightarrow \int\limits_{1}^{2}{{{(x-1)}^{3}}{f}'(x)dx}=1\)   (1)

Ta có: \(\int\limits_{1}^{2}{{{\left[ {f}'(x) \right]}^{2}}dx}-14\int\limits_{1}^{2}{{{(x-1)}^{3}}{f}'(x)dx}+49\int\limits_{1}^{2}{{{(x-1)}^{6}}dx}=0\)

\(\Leftrightarrow \int\limits_{1}^{2}{{{\left[ {f}'(x)-7{{(x-1)}^{3}} \right]}^{2}}dx}=0\Rightarrow {f}'(x)-7{{(x-1)}^{3}}=0\Leftrightarrow {f}'(x)=7{{(x-1)}^{3}}\)

\(\Rightarrow f(x)=7\int{{{(x-1)}^{3}}dx}=\frac{7{{(x-1)}^{4}}}{4}+C\).

Mà  \( f(2)=0 \) nên  \( C=-\frac{7}{4} \). Suy ra: \(f(x)=\frac{7{{(x-1)}^{4}}}{4}-\frac{7}{4}\).

Vậy  \( I=\int\limits_{1}^{2}{f(x)dx}=\int\limits_{1}^{2}{\left[ \frac{7{{(x-1)}^{4}}}{4}-\frac{7}{4} \right]dx}=-\frac{7}{5} \).