Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên \( \left[ 1;2 \right] \) thỏa mãn \( \int\limits_{1}^{2}{{{(x-1)}^{2}}f(x)dx}=-\frac{1}{3} \), \( f(2)=0 \) và \( \int\limits_{1}^{2}{{{\left[ {f}'(x) \right]}^{2}}dx}=7 \). Tính tích phân \( I=\int\limits_{1}^{2}{f(x)dx} \).
A. \( I=\frac{7}{5} \)
B. \( I=-\frac{7}{5} \)
C. \( I=-\frac{7}{20} \)
D. \( I=\frac{7}{20} \)
Hướng dẫn giải:
Đáp án B.
+ Xét \( \int\limits_{1}^{2}{{{(x-1)}^{2}}f(x)dx}=-\frac{1}{3} \).
Đặt \(\left\{ \begin{align} & u=f(x)\Rightarrow du={f}'(x)dx \\ & dv={{(x-1)}^{2}}dx\Rightarrow v=\frac{1}{3}{{(x-1)}^{3}} \\ \end{align} \right.\).
Khi đó: \(\int\limits_{1}^{2}{{{(x-1)}^{2}}f(x)dx}=\frac{1}{3}\left[ \left. {{(x-1)}^{3}}f(x) \right|_{1}^{2}-\int\limits_{1}^{2}{{{(x-1)}^{3}}{f}'(x)dx} \right]=-\frac{1}{3}\int\limits_{1}^{2}{{{(x-1)}^{3}}{f}'(x)dx}=-\frac{1}{3}\).
\(\Rightarrow \int\limits_{1}^{2}{{{(x-1)}^{3}}{f}'(x)dx}=1\) (1)
Ta có: \(\int\limits_{1}^{2}{{{\left[ {f}'(x) \right]}^{2}}dx}-14\int\limits_{1}^{2}{{{(x-1)}^{3}}{f}'(x)dx}+49\int\limits_{1}^{2}{{{(x-1)}^{6}}dx}=0\)
\(\Leftrightarrow \int\limits_{1}^{2}{{{\left[ {f}'(x)-7{{(x-1)}^{3}} \right]}^{2}}dx}=0\Rightarrow {f}'(x)-7{{(x-1)}^{3}}=0\Leftrightarrow {f}'(x)=7{{(x-1)}^{3}}\)
\(\Rightarrow f(x)=7\int{{{(x-1)}^{3}}dx}=\frac{7{{(x-1)}^{4}}}{4}+C\).
Mà \( f(2)=0 \) nên \( C=-\frac{7}{4} \). Suy ra: \(f(x)=\frac{7{{(x-1)}^{4}}}{4}-\frac{7}{4}\).
Vậy \( I=\int\limits_{1}^{2}{f(x)dx}=\int\limits_{1}^{2}{\left[ \frac{7{{(x-1)}^{4}}}{4}-\frac{7}{4} \right]dx}=-\frac{7}{5} \).
Các bài toán liên quan
Các bài toán mới!
Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!
Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!
- Nhận dạy kèm môn phổ thông: Toán học, Vật lý, Hóa học, Tiếng Anh các lớp 10, 11, 12, LTDH
- Cơ sở 1: Khu đô thị Garden, Thị trấn Đức Tài, Huyện Đức Linh, Tỉnh Bình Thuận
- Cơ sở 2: Số 103/6, Hẻm 528TC, Đường Trường Chinh, Kp. 7, P. Tân Hưng Thuận, Quận 12, Tp. HCM
- Cơ sở 3: số 33/66, hẻm 33, đường số 5, P. Bình Hưng Hòa, Quận Tân Bình, Tp. HCM
- Hotline: 094.625.1920 - Thầy Nhân (Zalo)
- Với đội ngũ gia sư dạy kèm gồm giáo viên và sinh viên ở các trường uy tín nhất, chúng tôi nhận dạy kèm tại nhà và dạy kèm online 1 kèm 1.
- Nhận dạy kèm môn phổ thông: Toán học, Vật lý, Hóa học, Tiếng Anh, Sinh học, Văn học, … các lớp 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, LTDH và các môn ĐH–CĐ: Toán cao cấp, Xác suất thống kê...
- Nhận dạy kèm Tiếng Anh (Giao tiếp, TOEIC, TOEFL, IELTS, ...) - Tiếng Hoa - Tiếng Hàn - Tiếng Nhật (Giao tiếp, chứng chỉ N5, N4, N3, N2, N1), Tin Học (Văn phòng, Đồ họa, Lập trình,...) cho các học viên ở mọi lứa tuổi.
- Nhận dạy kèm các môn năng khiếu: Cờ Vua, Cờ Tướng, Đàn Ghitar, Đàn Dương Cầm,…
- Đ/C Trung Tâm: Số 103/6, Hẻm 528TC, Đường Trường Chinh, Kp. 7, P. Tân Hưng Thuận, Quận 12, Tp. HCM
- Hotline: 094.625.1920 - Thầy Nhân (Zalo)
No comment yet, add your voice below!