Cho hàm số f(x) liên tục trên \( \mathbb{R} \) và thỏa mãn \( f(x)+2xf({{x}^{2}})=2{{x}^{7}}+3{{x}^{3}}-x-1 \). với \( x\in \mathbb{R} \). Tính tích phân \( \int\limits_{0}^{1}{x{f}'(x)dx} \).
A. \( \frac{1}{4} \)
B. \( \frac{5}{4} \)
C. \( \frac{3}{4} \)
D. \( -\frac{1}{2} \)
Hướng dẫn giải:
Đáp án B.
+ Xét \( \int\limits_{0}^{1}{x{f}'(x)dx} \).
Đặt \( \left\{ \begin{align} & u=x\Rightarrow du=dx \\ & dv={f}'(x)dx\Rightarrow v=f(x) \\ \end{align} \right. \).
Khi đó: \( \int\limits_{0}^{1}{x{f}'(x)dx}=\left. xf(x) \right|_{0}^{1}-\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}=f(1)-\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx} \) (*)
+ Từ \( f(x)+2xf({{x}^{2}})=2{{x}^{7}}+3{{x}^{3}}-x-1 \) (1)
Thay \( x=1 \) vào (1) ta được: \( f(1)+2f(1)=3\Rightarrow f(1)=1 \) (2)
+ Mặt khác từ (1) ta có: \( \int\limits_{0}^{1}{\left[ f(x)+2xf({{x}^{2}}) \right]dx}=\int\limits_{0}^{1}{\left( 2{{x}^{7}}+3{{x}^{3}}-x-1 \right)dx} \)
\( \Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}+\int\limits_{0}^{1}{2xf({{x}^{2}})dx}=-\frac{1}{2} \) (3)
+ Xét \( \int\limits_{0}^{1}{2xf({{x}^{2}})dx} \).
Đặt \( t={{x}^{2}}\Rightarrow dt=2xdx \).
Đổi cận: \( \left\{ \begin{align} & x=0\Rightarrow t=0 \\ & x=1\Rightarrow t=1 \\ \end{align} \right. \).
Khi đó: \( \int\limits_{0}^{1}{2xf({{x}^{2}})dx}=\int\limits_{0}^{1}{f(t)dt}=\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx} \)
Từ (3) suy ra: \(\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}+\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow 2\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}=-\frac{1}{4}\) (4)
Thay (2), (4) vào (*) ta được: \( \int\limits_{0}^{1}{x{f}'(x)dx}=f(1)-\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}=1+\frac{1}{4}=\frac{5}{4} \).
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!