Cho hàm số f(x) liên tục trên \( \mathbb{R} \) và thỏa mãn \( f(x)+2xf({{x}^{2}})=2{{x}^{7}}+3{{x}^{3}}-x-1 \). với \( x\in \mathbb{R} \). Tính tích phân \( \int\limits_{0}^{1}{x{f}'(x)dx} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

+ Xét  \( \int\limits_{0}^{1}{x{f}'(x)dx} \).

Đặt  \( \left\{ \begin{align}  & u=x\Rightarrow du=dx \\  & dv={f}'(x)dx\Rightarrow v=f(x) \\ \end{align} \right. \).

Khi đó:  \( \int\limits_{0}^{1}{x{f}'(x)dx}=\left. xf(x) \right|_{0}^{1}-\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}=f(1)-\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx} \)  (*)

+ Từ  \( f(x)+2xf({{x}^{2}})=2{{x}^{7}}+3{{x}^{3}}-x-1 \)  (1)

Thay  \( x=1 \) vào (1) ta được:  \( f(1)+2f(1)=3\Rightarrow f(1)=1 \)    (2)

+ Mặt khác từ (1) ta có:  \( \int\limits_{0}^{1}{\left[ f(x)+2xf({{x}^{2}}) \right]dx}=\int\limits_{0}^{1}{\left( 2{{x}^{7}}+3{{x}^{3}}-x-1 \right)dx} \)

 \( \Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}+\int\limits_{0}^{1}{2xf({{x}^{2}})dx}=-\frac{1}{2} \)  (3)

+ Xét  \( \int\limits_{0}^{1}{2xf({{x}^{2}})dx} \).

Đặt  \( t={{x}^{2}}\Rightarrow dt=2xdx \).

Đổi cận:  \( \left\{ \begin{align} & x=0\Rightarrow t=0 \\  & x=1\Rightarrow t=1 \\ \end{align} \right. \).

Khi đó:  \( \int\limits_{0}^{1}{2xf({{x}^{2}})dx}=\int\limits_{0}^{1}{f(t)dt}=\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx} \)

Từ (3) suy ra: \(\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}+\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow 2\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}=-\frac{1}{4}\)  (4)

Thay (2), (4) vào (*) ta được:  \( \int\limits_{0}^{1}{x{f}'(x)dx}=f(1)-\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}=1+\frac{1}{4}=\frac{5}{4} \).