Cho hàm số f(x) liên tục trên \( \mathbb{R} \) và thỏa mãn \( f(x)+2xf({{x}^{2}})=2{{x}^{7}}+3{{x}^{3}}-x-1 \). với \( x\in \mathbb{R} \). Tính tích phân \( \int\limits_{0}^{1}{x{f}'(x)dx} \)

Cho hàm số f(x) liên tục trên \( \mathbb{R} \) và thỏa mãn  \( f(x)+2xf({{x}^{2}})=2{{x}^{7}}+3{{x}^{3}}-x-1 \). với  \( x\in \mathbb{R} \). Tính tích phân  \( \int\limits_{0}^{1}{x{f}'(x)dx} \).

A. \( \frac{1}{4} \)

B.  \( \frac{5}{4} \)                    

C.  \( \frac{3}{4} \)          

D.  \( -\frac{1}{2} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

+ Xét  \( \int\limits_{0}^{1}{x{f}'(x)dx} \).

Đặt  \( \left\{ \begin{align}  & u=x\Rightarrow du=dx \\  & dv={f}'(x)dx\Rightarrow v=f(x) \\ \end{align} \right. \).

Khi đó:  \( \int\limits_{0}^{1}{x{f}'(x)dx}=\left. xf(x) \right|_{0}^{1}-\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}=f(1)-\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx} \)  (*)

+ Từ  \( f(x)+2xf({{x}^{2}})=2{{x}^{7}}+3{{x}^{3}}-x-1 \)  (1)

Thay  \( x=1 \) vào (1) ta được:  \( f(1)+2f(1)=3\Rightarrow f(1)=1 \)    (2)

+ Mặt khác từ (1) ta có:  \( \int\limits_{0}^{1}{\left[ f(x)+2xf({{x}^{2}}) \right]dx}=\int\limits_{0}^{1}{\left( 2{{x}^{7}}+3{{x}^{3}}-x-1 \right)dx} \)

 \( \Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}+\int\limits_{0}^{1}{2xf({{x}^{2}})dx}=-\frac{1}{2} \)  (3)

+ Xét  \( \int\limits_{0}^{1}{2xf({{x}^{2}})dx} \).

Đặt  \( t={{x}^{2}}\Rightarrow dt=2xdx \).

Đổi cận:  \( \left\{ \begin{align} & x=0\Rightarrow t=0 \\  & x=1\Rightarrow t=1 \\ \end{align} \right. \).

Khi đó:  \( \int\limits_{0}^{1}{2xf({{x}^{2}})dx}=\int\limits_{0}^{1}{f(t)dt}=\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx} \)

Từ (3) suy ra: \(\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}+\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow 2\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}=-\frac{1}{4}\)  (4)

Thay (2), (4) vào (*) ta được:  \( \int\limits_{0}^{1}{x{f}'(x)dx}=f(1)-\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}=1+\frac{1}{4}=\frac{5}{4} \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các bài toán liên quan

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *