Cho f(x) liên tục trên \( \mathbb{R} \) và thỏa mãn \( f(2)=16 \), \(\int\limits_{0}^{1}{f(2x)dx}=2\). Tích phân \( \int\limits_{0}^{2}{x{f}'(x)dx} \) bằng

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

+ Xét \(\int\limits_{0}^{1}{f(2x)dx}=2\).

Đặt  \( t=2x\Rightarrow dt=2dx\Rightarrow dx=\frac{1}{2}dt \).

Đổi cận:  \( \left\{ \begin{align}  & x=0\Rightarrow t=0 \\  & x=1\Rightarrow t=2 \\ \end{align} \right. \).

Khi đó:  \( \int\limits_{0}^{1}{f(2x)dx}=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{2}{f(t)dt}=2\Rightarrow \int\limits_{0}^{2}{f(t)dt}=\int\limits_{0}^{2}{f(x)dx}=4 \).

+ Xét  \( \int\limits_{0}^{2}{x{f}'(x)dx} \).

Đặt  \( \left\{ \begin{align}  & u=x\Rightarrow du=dx \\  & dv={f}'(x)dx\Rightarrow v=f(x) \\ \end{align} \right. \).

Khi đó:  \( \int\limits_{0}^{2}{x{f}'(x)dx}=\left. xf(x) \right|_{0}^{2}-\int\limits_{0}^{2}{f(x)dx}=2f(2)-4=32-4=28 \).