Cho f(x) là hàm số liên tục trên \( \mathbb{R} \) thỏa \( f(1)=1 \) và \( \int\limits_{0}^{1}{f(t)dt}=\frac{1}{3} \). Tính \( I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sin 2x.{f}'(\sin x)dx} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Xét  \( I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sin 2x.{f}'(\sin x)dx}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{2\cos x\sin x.{f}'(\sin x)dx} \).

Đặt  \( t=\sin x\Rightarrow dt=\cos xdx \).

Đổi cận:  \( \left\{ \begin{align}  & x=0\Rightarrow t=0 \\  & x=\frac{\pi }{2}\Rightarrow t=1 \\ \end{align} \right. \).

Khi đó:  \( I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{2\cos x\sin x.{f}'(\sin x)dx}=\int\limits_{0}^{1}{2t.{f}'(t)dt} \).

Đặt:  \( \left\{ \begin{align}  & u=2t\Rightarrow du=2dt \\  & dv={f}'(t)dt\Rightarrow v=f(t) \\ \end{align} \right. \).

 \( I=\left. 2t.f(t) \right|_{0}^{1}-2\int\limits_{0}^{1}{f(t)dt}=2f(1)-2.\frac{1}{3}=\frac{4}{3} \).