Cho f(x) là hàm số liên tục trên \( \mathbb{R} \) thỏa \( f(1)=1 \) và \( \int\limits_{0}^{1}{f(t)dt}=\frac{1}{3} \). Tính \( I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sin 2x.{f}'(\sin x)dx} \)

Cho f(x) là hàm số liên tục trên \( \mathbb{R} \) thỏa  \( f(1)=1 \) và  \( \int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}=\frac{1}{3} \). Tính  \( I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sin 2x.{f}'(\sin x)dx} \).

A. \( I=\frac{4}{3} \)                                          

B.  \( I=\frac{2}{3} \)      

C.  \( I=-\frac{2}{3} \)              

D.  \( I=\frac{1}{3} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Xét  \( I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sin 2x.{f}'(\sin x)dx}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{2\cos x\sin x.{f}'(\sin x)dx} \).

Đặt  \( t=\sin x\Rightarrow dt=\cos xdx \).

Đổi cận:  \( \left\{ \begin{align}  & x=0\Rightarrow t=0 \\  & x=\frac{\pi }{2}\Rightarrow t=1 \\ \end{align} \right. \).

Khi đó:  \( I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{2\cos x\sin x.{f}'(\sin x)dx}=\int\limits_{0}^{1}{2t.{f}'(t)dt} \).

Đặt:  \( \left\{ \begin{align}  & u=2t\Rightarrow du=2dt \\  & dv={f}'(t)dt\Rightarrow v=f(t) \\ \end{align} \right. \).

 \( I=\left. 2t.f(t) \right|_{0}^{1}-2\int\limits_{0}^{1}{f(t)dt}=2f(1)-2.\frac{1}{3}=\frac{4}{3} \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *