Tính diện tích của phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ sau

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Cách 1:

Phương trình hoành độ giao điểm của các đồ thị hàm số \(y=\sqrt{x},\text{ }y=x-2\):

\(\sqrt{x}=x-2\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & x\ge 2 \\  & x={{(x-2)}^{2}} \\ \end{align} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & x\ge 2 \\  & {{x}^{2}}-5x+4=0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow x=4\)

Diện tích của hình phẳng cần tìm là:  \( S=\int\limits_{0}^{4}{\sqrt{x}dx}-\int\limits_{2}^{4}{(x-2)dx}=\frac{10}{3} \).

Cách 2:

 Coi x là hàm số theo biến số y

Hình phẳng đã cho giới hạn bởi các đường:

 \( \left\{ \begin{align}  & x={{y}^{2}};\text{ }y\ge 0 \\  & x=y+2 \\  & y=0 \\ \end{align} \right. \)

Ta có:  \( {{y}^{2}}=y+2\Leftrightarrow {{y}^{2}}-y-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & y=-1\text{ }(\ell ) \\ & y=2\text{ }(n) \\ \end{align} \right. \).

Diện tích của hình phẳng cần tìm là:  \( S=\int\limits_{0}^{2}{\left| y+2-{{y}^{2}} \right|dy}=\int\limits_{0}^{2}{(y+2-{{y}^{2}})dy}=\frac{10}{3} \).