Cho hàm số f(x) có đạo hàm và xác định trên \( \mathbb{R} \). Biết \( f(1)=2 \) và \( \int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}{f}'(x)dx}=\int\limits_{1}^{4}{\frac{1+3\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}f\left( 2-\sqrt{x} \right)dx}=4 \). Giá trị của \( \int\limits_{0}^{1}{f(x)dx} \) bằng

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

+ Xét  \( {{I}_{1}}=\int\limits_{0}^{1}{x{f}'(x)dx} \) .

Đặt  \( \left\{ \begin{align} & u={{x}^{2}}\Rightarrow du=2xdx \\  & dv={f}'(x)dx\Rightarrow v=f(x) \\ \end{align} \right. \).

Khi đó:  \( {{I}_{1}}=\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}{f}'(x)dx}=\left. {{x}^{2}}.f(x) \right|_{0}^{1}-\int\limits_{0}^{1}{2xf(x)dx}=2-2\int\limits_{0}^{1}{xf(x)dx}=4 \).

 \( \Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{xf(x)dx}=\int\limits_{0}^{1}{tf(t)dt}=-1 \).

+ Xét \({{I}_{2}}=\int\limits_{1}^{4}{\frac{1+3\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}f\left( 2-\sqrt{x} \right)dx}=4\)

Đặt  \( t=2-\sqrt{x}\Rightarrow dt=-\frac{1}{2\sqrt{x}}dx \).

Đổi cận:  \( \left\{ \begin{align}  & x=1\Rightarrow t=1 \\  & x=4\Rightarrow t=0 \\ \end{align} \right. \).

Khi đó: \({{I}_{2}}=\int\limits_{1}^{4}{\frac{1+3\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}f\left( 2-\sqrt{x} \right)dx}=-\int\limits_{1}^{0}{\left( 1+3(2-t) \right)f(t)dt}=\int\limits_{0}^{1}{(7-3t)f(t)dt}\)

\(=7\int\limits_{0}^{1}{f(t)dt}-3\int\limits_{0}^{1}{tf(t)dt}=4\).

 \( \Leftrightarrow 7\int\limits_{0}^{1}{f(t)dt}-3.(-1)=4\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{f(t)dt}=\frac{1}{7} \).

Vậy  \( \int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}=\frac{1}{7} \)