Cho hàm số f(x) có đạo hàm và xác định trên \( \mathbb{R} \). Biết \( f(1)=2 \) và \( \int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}{f}'(x)dx}=\int\limits_{1}^{4}{\frac{1+3\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}f\left( 2-\sqrt{x} \right)dx}=4 \). Giá trị của \( \int\limits_{0}^{1}{f(x)dx} \) bằng

Cho hàm số f(x) có đạo hàm và xác định trên \( \mathbb{R} \). Biết  \( f(1)=2 \) và  \( \int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}{f}'(x)dx}=\int\limits_{1}^{4}{\frac{1+3\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}f\left( 2-\sqrt{x} \right)dx}=4 \). Giá trị của  \( \int\limits_{0}^{1}{f(x)dx} \) bằng

A. 1

B. \( \frac{5}{7} \)           

C.  \( \frac{3}{7} \)          

D.  \( \frac{1}{7} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

+ Xét  \( {{I}_{1}}=\int\limits_{0}^{1}{x{f}'(x)dx} \) .

Đặt  \( \left\{ \begin{align} & u={{x}^{2}}\Rightarrow du=2xdx \\  & dv={f}'(x)dx\Rightarrow v=f(x) \\ \end{align} \right. \).

Khi đó:  \( {{I}_{1}}=\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}{f}'(x)dx}=\left. {{x}^{2}}.f(x) \right|_{0}^{1}-\int\limits_{0}^{1}{2xf(x)dx}=2-2\int\limits_{0}^{1}{xf(x)dx}=4 \).

 \( \Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{xf(x)dx}=\int\limits_{0}^{1}{tf(t)dt}=-1 \).

+ Xét \({{I}_{2}}=\int\limits_{1}^{4}{\frac{1+3\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}f\left( 2-\sqrt{x} \right)dx}=4\)

Đặt  \( t=2-\sqrt{x}\Rightarrow dt=-\frac{1}{2\sqrt{x}}dx \).

Đổi cận:  \( \left\{ \begin{align}  & x=1\Rightarrow t=1 \\  & x=4\Rightarrow t=0 \\ \end{align} \right. \).

Khi đó: \({{I}_{2}}=\int\limits_{1}^{4}{\frac{1+3\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}f\left( 2-\sqrt{x} \right)dx}=-\int\limits_{1}^{0}{\left( 1+3(2-t) \right)f(t)dt}=\int\limits_{0}^{1}{(7-3t)f(t)dt}\)

\(=7\int\limits_{0}^{1}{f(t)dt}-3\int\limits_{0}^{1}{tf(t)dt}=4\).

 \( \Leftrightarrow 7\int\limits_{0}^{1}{f(t)dt}-3.(-1)=4\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{f(t)dt}=\frac{1}{7} \).

Vậy  \( \int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}=\frac{1}{7} \)

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các bài toán liên quan

 

Các bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *