Cho hàm số \( y=f(x) \) liên tục trên \( \mathbb{R} \). Biết \( f(4x)=f(x)+4{{x}^{3}}+2x \) và  \( f(0)=2 \). Tính \( I=\int\limits_{0}^{2}{f(x)dx} \)

Cho hàm số \( y=f(x) \) liên tục trên  \( \mathbb{R} \). Biết \( f(4x)=f(x)+4{{x}^{3}}+2x \) và  \( f(0)=2 \). Tính  \( I=\int\limits_{0}^{2}{f(x)dx} \).

A. \( \frac{147}{63} \)

B.  \( \frac{149}{63} \)             

C.  \( \frac{148}{63} \)    

D.  \( \frac{352}{63} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Ta có:  \( f(4x)=f(x)+4{{x}^{3}}+2x\Rightarrow f(4x)-f(x)=4{{x}^{3}}+2x  \)

Suy ra:  \( f(x) \) và  \( f(4x) \) là hàm số bậc ba.

Khi đó:  \( f(x)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\text{ }\left( a\ne 0 \right) \) và  \( f(4x)=64a{{x}^{3}}+16b{{x}^{2}}+4cx+d  \).

Ta có:  \( f(4x)-f(x)=63a{{x}^{3}}+15b{{x}^{2}}+3cx=4{{x}^{3}}+2x  \)

Suy ra:  \( \left\{ \begin{align}  & a=\frac{4}{63} \\  & b=0 \\  & c=\frac{2}{3} \\ \end{align} \right. \).

Mặt khác:  \( f(0)=2\Rightarrow d=2 \).

Do đó,  \( f(x)=\frac{4}{63}{{x}^{3}}+\frac{2}{3}x+2 \).

Vậy  \( I=\int\limits_{0}^{2}{f(x)dx}=\int\limits_{0}^{2}{\left( \frac{4}{63}{{x}^{3}}+\frac{2}{3}x+2 \right)dx}=\frac{352}{63} \).

+ Chứng minh f(x) là duy nhất.

Ta có:  \( f(x)=\frac{4}{63}{{x}^{3}}+\frac{2}{3}x+2 \),  \( f(4x)=\frac{256}{63}{{x}^{3}}+\frac{8}{3}x+2 \) và  \( f(4x)-f(x)=4{{x}^{3}}+2x  \).

Suy ra:  \( f(4x)-\frac{4}{63}{{(4x)}^{3}}-\frac{2}{3}(4x)=f(x)-\frac{4}{63}{{x}^{3}}-\frac{2}{3}x  \).

Đặt  \( g(4x)=f(4x)-\frac{4}{63}{{(4x)}^{3}}-\frac{2}{3}(4x) \) và  \( g(x)=f(x)-\frac{4}{63}{{x}^{3}}-\frac{2}{3}x  \).

Ta có:  \( g(4x)=g(x);\text{ }g(0)=f(0)=2 \).

Suy ra:  \( g(x)=g\left( \frac{x}{4} \right)=g\left( \frac{x}{{{4}^{2}}} \right)=…=g\left( \frac{x}{{{4}^{n}}} \right),\text{ }n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \).

Khi  \( n\to +\infty  \) suy ra  \( g(x)=g(0)=2 \).

Vậy  \( f(x)=\frac{4}{63}{{x}^{3}}+\frac{2}{3}x+2,\forall x\in \mathbb{R} \)

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 7b4a035yn3 may not exist

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *