Cho hàm số \( y=f(x) \) là hàm số lẻ trên \(\mathbb{R}\) và đồng thời thỏa mãn hai điều kiện \( f(x+1)=f(x)+1,\forall x\in \mathbb{R} \) và  \( f\left( \frac{1}{x} \right)=\frac{f(x)}{{{x}^{2}}},\forall x\ne 0 \). Gọi \( I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{f(x)}{{{f}^{2}}(x)+1}dx} \)

Cho hàm số \( y=f(x) \) là hàm số lẻ trên  \( \mathbb{R} \) và đồng thời thỏa mãn hai điều kiện  \( f(x+1)=f(x)+1,\forall x\in \mathbb{R} \) và  \( f\left( \frac{1}{x} \right)=\frac{f(x)}{{{x}^{2}}},\forall x\ne 0 \). Gọi  \( I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{f(x)}{{{f}^{2}}(x)+1}dx} \). Hãy chọn khẳng định đúng về giá trị của I.

A. \( I\in (-1;0) \)

B.  \( I\in (1;2) \)              

C.  \( I\in (0;1) \)              

D.  \( I\in (-2;-1) \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

+ Đặt  \( y=f(x) \). Khi đó từ giả thiết ta có:

 \( f(x+1)=y+1 \),  \( f\left( \frac{1}{x} \right)=\frac{f(x)}{{{x}^{2}}}\Rightarrow f\left( \frac{1}{x+1} \right)=\frac{f(x+1)}{{{(x+1)}^{2}}}=\frac{y+1}{{{(x+1)}^{2}}} \) ,  \( f\left( -\frac{1}{x+1} \right)=-\frac{y+1}{{{(x+1)}^{2}}} \).

Suy ra:  \( f\left( \frac{x}{x+1} \right)=f\left( -\frac{1}{x+1}+1 \right)=f\left( -\frac{1}{x+1} \right)+1=-\frac{y+1}{{{(x+1)}^{2}}}+1=\frac{{{x}^{2}}+2x-y}{{{(x+1)}^{2}}} \)     (1)

Và \(f\left( \frac{x+1}{x} \right)=f\left( 1+\frac{1}{x} \right)=1+f\left( \frac{1}{x} \right)=1+\frac{y}{{{x}^{2}}}=\frac{{{x}^{2}}+y}{{{x}^{2}}}\).

 \( f\left( \frac{x}{x+1} \right)=f\left( \frac{1}{\frac{x+1}{x}} \right)=\frac{f\left( \frac{x+1}{x} \right)}{{{\left( \frac{x+1}{x} \right)}^{2}}}=\frac{\frac{{{x}^{2}}+y}{{{x}^{2}}}}{{{\left( \frac{x+1}{x} \right)}^{2}}}=\frac{{{x}^{2}}+y}{{{(x+1)}^{2}}} \)   (2)

+ Từ (1) và (2) suy ra:  \( \frac{{{x}^{2}}+2x-y}{{{(x+1)}^{2}}}=\frac{{{x}^{2}}+y}{{{(x+1)}^{2}}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}+2x-y={{x}^{2}}+y\Rightarrow y=x\Rightarrow f(x)=x  \).

Do đó:  \( I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{f(x)}{{{f}^{2}}(x)+1}dx}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{x}{{{x}^{2}}+1}dx}=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}{\frac{1}{{{x}^{2}}+1}d({{x}^{2}}+1)}=\left. \frac{1}{2}\ln ({{x}^{2}}+1) \right|_{0}^{1}=\frac{1}{2}\ln 2\approx 0,35 \)

Vậy  \( I\in (0;1) \).

Các bài toán liên quan

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Fanpage Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Nhân Tài Việt

Fanpage Trung Tâm Gia Sư Dạy Kèm Nhân Tài Việt

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *