Cho hàm số \( y=f(x) \) có đạo hàm trên \( [0;3] \); \( f(3-x).f(x)=1\), \( f(x)\ne -1 \) với mọi \( x\in [0;3] \) và \( f(0)=\frac{1}{2} \). Tính tích phân \( \int\limits_{0}^{3}{\frac{x.{f}'(x)}{{{\left[ 1+f(3-x) \right]}^{2}}.{{f}^{2}}(x)}dx} \)

Cho hàm số  \( y=f(x) \) có đạo hàm trên  \( [0;3] \);  \( f(3-x).f(x)=1 \),  \( f(x)\ne -1 \) với mọi  \( x\in [0;3] \) và  \( f(0)=\frac{1}{2} \). Tính tích phân \(  \int\limits_{0}^{3}{\frac{x.{f}'(x)}{{{\left[ 1+f(3-x) \right]}^{2}}.{{f}^{2}}(x)}dx} \).

A. 1

B. \( \frac{5}{2} \)           

C.  \( \frac{1}{2} \)          

D.  \( \frac{3}{2} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Ta có:  \( f(3-x).f(x)=1\Rightarrow f(3-x)=\frac{1}{f(x)} \) .

+ Xét  \( {{\left[ 1+f(3-x) \right]}^{2}}.{{f}^{2}}(x)={{f}^{2}}(x)+2.f(3-x).{{f}^{2}}(x)+{{f}^{2}}(3-x).{{f}^{2}}(x) \)

 \( ={{f}^{2}}(x)+2.f(x)+1={{\left[ f(x)+1 \right]}^{2}} \).

+ Xét  \( I=\int\limits_{0}^{3}{\frac{x.{f}'(x)}{{{\left[ 1+f(3-x) \right]}^{2}}.{{f}^{2}}(x)}dx}=\int\limits_{0}^{3}{\frac{x.{f}'(x)}{{{\left[ 1+f(x) \right]}^{2}}}dx} \) .

Đặt  \( \left\{ \begin{align}  & u=x\Rightarrow du=dx \\  & dv=\frac{{f}'(x)}{{{\left[ 1+f(x) \right]}^{2}}}dx=\frac{1}{{{\left[ 1+f(x)\right]}^{2}}}d\left( f(x) \right)\Rightarrow v=-\frac{1}{1+f(x)} \\ \end{align} \right. \).

Khi đó:  \( I=\left. \frac{-x}{1+f(x)} \right|_{0}^{3}+\underbrace{\int\limits_{0}^{3}{\frac{1}{1+f(x)}dx}}_{{{I}_{1}}}=\frac{-3}{1+f(3)}+{{I}_{1}} \).

Ta có:  \( f(0)=\frac{1}{2}\Rightarrow f(3)=\frac{1}{f(0)}=2 \).

+ Xét  \( {{I}_{1}}=\int\limits_{0}^{3}{\frac{1}{1+f(x)}dx} \).

Đặt  \( t=3-x\Rightarrow x=3-t\Rightarrow dx=-dt  \).

Đổi cận:  \( \left\{ \begin{align} & x=0\Rightarrow t=3 \\  & x=3\Rightarrow t=0 \\ \end{align} \right. \).

Khi đó:  \( {{I}_{1}}=\int\limits_{0}^{3}{\frac{1}{1+f(x)}dx}=\int\limits_{3}^{0}{\frac{1}{1+f(3-t)}(-dt)}=\int\limits_{0}^{3}{\frac{1}{1+f(3-t)}dt}=\int\limits_{0}^{3}{\frac{1}{1+f(3-x)}dx} \)

 \( =\int\limits_{0}^{3}{\frac{1}{1+\frac{1}{f(x)}}dx}=\int\limits_{0}^{3}{\frac{f(x)}{1+f(x)}dx} \).

Suy ra:  \( 2{{I}_{1}}=\int\limits_{0}^{3}{\frac{1}{1+f(x)}dx}+\int\limits_{0}^{3}{\frac{f(x)}{1+f(x)}dx}=\int\limits_{0}^{3}{\frac{1+f(x)}{1+f(x)}dx}=\int\limits_{0}^{3}{1dx}=3\Rightarrow {{I}_{1}}=\frac{3}{2} \).

Vậy  \( I=-1+\frac{3}{2}=\frac{1}{2} \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các bài toán liên quan

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *