Cho hàm số \( y=f(x) \) có đạo hàm trên \( [0;3] \); \( f(3-x).f(x)=1 \), \( f(x)\ne -1 \) với mọi \( x\in [0;3] \) và \( f(0)=\frac{1}{2} \). Tính tích phân \( \int\limits_{0}^{3}{\frac{x.{f}'(x)}{{{\left[ 1+f(3-x) \right]}^{2}}.{{f}^{2}}(x)}dx} \).
A. 1
B. \( \frac{5}{2} \)
C. \( \frac{1}{2} \)
D. \( \frac{3}{2} \)
Hướng dẫn giải:
Đáp án C.
Ta có: \( f(3-x).f(x)=1\Rightarrow f(3-x)=\frac{1}{f(x)} \) .
+ Xét \( {{\left[ 1+f(3-x) \right]}^{2}}.{{f}^{2}}(x)={{f}^{2}}(x)+2.f(3-x).{{f}^{2}}(x)+{{f}^{2}}(3-x).{{f}^{2}}(x) \)
\( ={{f}^{2}}(x)+2.f(x)+1={{\left[ f(x)+1 \right]}^{2}} \).
+ Xét \( I=\int\limits_{0}^{3}{\frac{x.{f}'(x)}{{{\left[ 1+f(3-x) \right]}^{2}}.{{f}^{2}}(x)}dx}=\int\limits_{0}^{3}{\frac{x.{f}'(x)}{{{\left[ 1+f(x) \right]}^{2}}}dx} \) .
Đặt \( \left\{ \begin{align} & u=x\Rightarrow du=dx \\ & dv=\frac{{f}'(x)}{{{\left[ 1+f(x) \right]}^{2}}}dx=\frac{1}{{{\left[ 1+f(x)\right]}^{2}}}d\left( f(x) \right)\Rightarrow v=-\frac{1}{1+f(x)} \\ \end{align} \right. \).
Khi đó: \( I=\left. \frac{-x}{1+f(x)} \right|_{0}^{3}+\underbrace{\int\limits_{0}^{3}{\frac{1}{1+f(x)}dx}}_{{{I}_{1}}}=\frac{-3}{1+f(3)}+{{I}_{1}} \).
Ta có: \( f(0)=\frac{1}{2}\Rightarrow f(3)=\frac{1}{f(0)}=2 \).
+ Xét \( {{I}_{1}}=\int\limits_{0}^{3}{\frac{1}{1+f(x)}dx} \).
Đặt \( t=3-x\Rightarrow x=3-t\Rightarrow dx=-dt \).
Đổi cận: \( \left\{ \begin{align} & x=0\Rightarrow t=3 \\ & x=3\Rightarrow t=0 \\ \end{align} \right. \).
Khi đó: \( {{I}_{1}}=\int\limits_{0}^{3}{\frac{1}{1+f(x)}dx}=\int\limits_{3}^{0}{\frac{1}{1+f(3-t)}(-dt)}=\int\limits_{0}^{3}{\frac{1}{1+f(3-t)}dt}=\int\limits_{0}^{3}{\frac{1}{1+f(3-x)}dx} \)
\( =\int\limits_{0}^{3}{\frac{1}{1+\frac{1}{f(x)}}dx}=\int\limits_{0}^{3}{\frac{f(x)}{1+f(x)}dx} \).
Suy ra: \( 2{{I}_{1}}=\int\limits_{0}^{3}{\frac{1}{1+f(x)}dx}+\int\limits_{0}^{3}{\frac{f(x)}{1+f(x)}dx}=\int\limits_{0}^{3}{\frac{1+f(x)}{1+f(x)}dx}=\int\limits_{0}^{3}{1dx}=3\Rightarrow {{I}_{1}}=\frac{3}{2} \).
Vậy \( I=-1+\frac{3}{2}=\frac{1}{2} \).
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!