Cho hàm số \( y=f(x) \) là hàm số lẻ trên \( \mathbb{R} \) và đồng thời thỏa mãn hai điều kiện \( f(x+1)=f(x)+1,\forall x\in \mathbb{R} \) và \( f\left( \frac{1}{x} \right)=\frac{f(x)}{{{x}^{2}}},\forall x\ne 0 \). Gọi \( I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{f(x)}{{{f}^{2}}(x)+1}dx} \). Hãy chọn khẳng định đúng về giá trị của I.
A. \( I\in (-1;0) \)
B. \( I\in (1;2) \)
C. \( I\in (0;1) \)
D. \( I\in (-2;-1) \)
Hướng dẫn giải:
Đáp án C.
+ Đặt \( y=f(x) \). Khi đó từ giả thiết ta có:
\( f(x+1)=y+1 \), \( f\left( \frac{1}{x} \right)=\frac{f(x)}{{{x}^{2}}}\Rightarrow f\left( \frac{1}{x+1} \right)=\frac{f(x+1)}{{{(x+1)}^{2}}}=\frac{y+1}{{{(x+1)}^{2}}} \) , \( f\left( -\frac{1}{x+1} \right)=-\frac{y+1}{{{(x+1)}^{2}}} \).
Suy ra: \( f\left( \frac{x}{x+1} \right)=f\left( -\frac{1}{x+1}+1 \right)=f\left( -\frac{1}{x+1} \right)+1=-\frac{y+1}{{{(x+1)}^{2}}}+1=\frac{{{x}^{2}}+2x-y}{{{(x+1)}^{2}}} \) (1)
Và \(f\left( \frac{x+1}{x} \right)=f\left( 1+\frac{1}{x} \right)=1+f\left( \frac{1}{x} \right)=1+\frac{y}{{{x}^{2}}}=\frac{{{x}^{2}}+y}{{{x}^{2}}}\).
\( f\left( \frac{x}{x+1} \right)=f\left( \frac{1}{\frac{x+1}{x}} \right)=\frac{f\left( \frac{x+1}{x} \right)}{{{\left( \frac{x+1}{x} \right)}^{2}}}=\frac{\frac{{{x}^{2}}+y}{{{x}^{2}}}}{{{\left( \frac{x+1}{x} \right)}^{2}}}=\frac{{{x}^{2}}+y}{{{(x+1)}^{2}}} \) (2)
+ Từ (1) và (2) suy ra: \( \frac{{{x}^{2}}+2x-y}{{{(x+1)}^{2}}}=\frac{{{x}^{2}}+y}{{{(x+1)}^{2}}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}+2x-y={{x}^{2}}+y\Rightarrow y=x\Rightarrow f(x)=x \).
Do đó: \( I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{f(x)}{{{f}^{2}}(x)+1}dx}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{x}{{{x}^{2}}+1}dx}=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}{\frac{1}{{{x}^{2}}+1}d({{x}^{2}}+1)}=\left. \frac{1}{2}\ln ({{x}^{2}}+1) \right|_{0}^{1}=\frac{1}{2}\ln 2\approx 0,35 \)
Vậy \( I\in (0;1) \).
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!