Cho hàm số \( y=f(x) \) là hàm số lẻ trên \(\mathbb{R}\) và đồng thời thỏa mãn hai điều kiện \( f(x+1)=f(x)+1,\forall x\in \mathbb{R} \) và  \( f\left( \frac{1}{x} \right)=\frac{f(x)}{{{x}^{2}}},\forall x\ne 0 \). Gọi \( I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{f(x)}{{{f}^{2}}(x)+1}dx} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

+ Đặt  \( y=f(x) \). Khi đó từ giả thiết ta có:

 \( f(x+1)=y+1 \),  \( f\left( \frac{1}{x} \right)=\frac{f(x)}{{{x}^{2}}}\Rightarrow f\left( \frac{1}{x+1} \right)=\frac{f(x+1)}{{{(x+1)}^{2}}}=\frac{y+1}{{{(x+1)}^{2}}} \) ,  \( f\left( -\frac{1}{x+1} \right)=-\frac{y+1}{{{(x+1)}^{2}}} \).

Suy ra:  \( f\left( \frac{x}{x+1} \right)=f\left( -\frac{1}{x+1}+1 \right)=f\left( -\frac{1}{x+1} \right)+1=-\frac{y+1}{{{(x+1)}^{2}}}+1=\frac{{{x}^{2}}+2x-y}{{{(x+1)}^{2}}} \)     (1)

Và \(f\left( \frac{x+1}{x} \right)=f\left( 1+\frac{1}{x} \right)=1+f\left( \frac{1}{x} \right)=1+\frac{y}{{{x}^{2}}}=\frac{{{x}^{2}}+y}{{{x}^{2}}}\).

 \( f\left( \frac{x}{x+1} \right)=f\left( \frac{1}{\frac{x+1}{x}} \right)=\frac{f\left( \frac{x+1}{x} \right)}{{{\left( \frac{x+1}{x} \right)}^{2}}}=\frac{\frac{{{x}^{2}}+y}{{{x}^{2}}}}{{{\left( \frac{x+1}{x} \right)}^{2}}}=\frac{{{x}^{2}}+y}{{{(x+1)}^{2}}} \)   (2)

+ Từ (1) và (2) suy ra:  \( \frac{{{x}^{2}}+2x-y}{{{(x+1)}^{2}}}=\frac{{{x}^{2}}+y}{{{(x+1)}^{2}}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}+2x-y={{x}^{2}}+y\Rightarrow y=x\Rightarrow f(x)=x  \).

Do đó:  \( I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{f(x)}{{{f}^{2}}(x)+1}dx}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{x}{{{x}^{2}}+1}dx}=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}{\frac{1}{{{x}^{2}}+1}d({{x}^{2}}+1)}=\left. \frac{1}{2}\ln ({{x}^{2}}+1) \right|_{0}^{1}=\frac{1}{2}\ln 2\approx 0,35 \)

Vậy  \( I\in (0;1) \).