Cho hàm số f(x) liên tục và có đạo hàm trên \( \left[ -\frac{1}{2};\frac{1}{2} \right] \) thỏa mãn \( \int\limits_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}{\left[ {{f}^{2}}(x)-2f(x).(3-x) \right]dx}=-\frac{109}{12} \). Tính \( \int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}{\frac{f(x)}{{{x}^{2}}-1}dx} \).
A. \( \ln \frac{7}{9} \)
B. \( \ln \frac{2}{9} \)
C. \( \ln \frac{5}{9} \)
D. \( \ln \frac{8}{9} \)
Hướng dẫn giải:
Đáp án B.
Ta có: \( \int\limits_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}{\left[ {{f}^{2}}(x)-2f(x).(3-x) \right]dx}=-\frac{109}{12}\Leftrightarrow \int\limits_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}{\left[ \left( {{f}^{2}}(x)-{{(3-x)}^{2}} \right)-{{(3-x)}^{2}} \right]dx}=-\frac{109}{12} \)
\( \Leftrightarrow \int\limits_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}{{{\left[ f(x)-(3-x) \right]}^{2}}dx}-\int\limits_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}{{{(3-x)}^{2}}dx}=-\frac{109}{12} \).
Mà: \( \int\limits_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}{{{(3-x)}^{2}}dx}=\int\limits_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}{(9-6x+{{x}^{2}})dx}=\left. \left( 9x-3{{x}^{2}}+\frac{{{x}^{3}}}{3} \right) \right|_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}=\frac{109}{12} \).
Suy ra: \( \int\limits_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}{{{\left[ f(x)-(3-x) \right]}^{2}}dx}=0 \).
Vì \( {{\left[ f(x)-(3-x) \right]}^{2}}\ge 0,\text{ }\forall x\in \left[ -\frac{1}{2};\frac{1}{2} \right] nên f(x)=3-x,\text{ }\forall x\in \left[ -\frac{1}{2};\frac{1}{2} \right] \).
Vậy \(\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}{\frac{f(x)}{{{x}^{2}}-1}dx}=\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}{\frac{3-x}{{{x}^{2}}-1}dx}=\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}{\frac{1-x+2}{(x-1)(x+1)}dx}\)
\( =\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}{\left[ \frac{-1}{x+1}+\frac{2}{(x-1)(x+1)} \right]dx}=\left. \left( -\ln \left| x+1 \right|+\ln \left| \frac{x-1}{x+1} \right| \right) \right|_{0}^{\frac{1}{2}}=\ln \frac{2}{9} \).
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!