Cho hàm số f(x) liên tục và có đạo hàm trên \( \left[ -\frac{1}{2};\frac{1}{2} \right] \) thỏa mãn \( \int\limits_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}{\left[ {{f}^{2}}(x)-2f(x).(3-x) \right]dx}=-\frac{109}{12} \). Tính \( \int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}{\frac{f(x)}{{{x}^{2}}-1}dx} \)

Cho hàm số f(x) liên tục và có đạo hàm trên \( \left[ -\frac{1}{2};\frac{1}{2} \right] \) thỏa mãn  \( \int\limits_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}{\left[ {{f}^{2}}(x)-2f(x).(3-x) \right]dx}=-\frac{109}{12} \). Tính  \( \int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}{\frac{f(x)}{{{x}^{2}}-1}dx} \).

A. \( \ln \frac{7}{9} \)

B.  \( \ln \frac{2}{9} \)                    

C.  \( \ln \frac{5}{9} \)     

D.  \( \ln \frac{8}{9} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Ta có:  \( \int\limits_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}{\left[ {{f}^{2}}(x)-2f(x).(3-x) \right]dx}=-\frac{109}{12}\Leftrightarrow \int\limits_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}{\left[ \left( {{f}^{2}}(x)-{{(3-x)}^{2}} \right)-{{(3-x)}^{2}} \right]dx}=-\frac{109}{12} \)

 \( \Leftrightarrow \int\limits_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}{{{\left[ f(x)-(3-x) \right]}^{2}}dx}-\int\limits_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}{{{(3-x)}^{2}}dx}=-\frac{109}{12} \).

Mà:  \( \int\limits_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}{{{(3-x)}^{2}}dx}=\int\limits_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}{(9-6x+{{x}^{2}})dx}=\left. \left( 9x-3{{x}^{2}}+\frac{{{x}^{3}}}{3} \right) \right|_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}=\frac{109}{12} \).

Suy ra:  \( \int\limits_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}{{{\left[ f(x)-(3-x) \right]}^{2}}dx}=0 \).

Vì  \( {{\left[ f(x)-(3-x) \right]}^{2}}\ge 0,\text{ }\forall x\in \left[ -\frac{1}{2};\frac{1}{2} \right] nên f(x)=3-x,\text{ }\forall x\in \left[ -\frac{1}{2};\frac{1}{2} \right] \).

Vậy \(\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}{\frac{f(x)}{{{x}^{2}}-1}dx}=\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}{\frac{3-x}{{{x}^{2}}-1}dx}=\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}{\frac{1-x+2}{(x-1)(x+1)}dx}\)

 \( =\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}{\left[ \frac{-1}{x+1}+\frac{2}{(x-1)(x+1)} \right]dx}=\left. \left( -\ln \left| x+1 \right|+\ln \left| \frac{x-1}{x+1} \right| \right) \right|_{0}^{\frac{1}{2}}=\ln \frac{2}{9} \).

Các bài toán liên quan

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *