Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O) và (O’), chiều cao 2R và bán kính đáy R. Một mặt phẳng (α) đi qua trung điểm của OO’ và tạo với OO’ một góc 30O. Hỏi (α) cắt đường tròn đáy theo một dây cung có độ dài bằng bao nhiêu

Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O) và (O’), chiều cao 2R và bán kính đáy R. Một mặt phẳng \( \left( \alpha \right) \) đi qua trung điểm của OO’ và tạo với OO’ một góc 30O. Hỏi  \( \left( \alpha  \right) \) cắt đường tròn đáy theo một dây cung có độ dài bằng bao nhiêu?

A. \( \frac{2R\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \)                                           

B.  \( \frac{4R}{3\sqrt{3}} \)    

C.  \( \frac{2R}{3} \)        

D.  \( \frac{2R}{\sqrt{3}} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Gọi M là trung điểm của OO’. Gọi A, B là giao điểm của mặt phẳng  \( \left( \alpha  \right) \) và đường tròn (O) và H là hình chiếu của O trên AB

 \( \Rightarrow AB\bot \left( MHO \right) \)

Trong mặt phẳng (MHO) kẻ  \( OK\bot MH  \),  \( \left( K\in MH \right) \) khi đó góc giữa OO’ và mặt phẳng  \( \left( \alpha  \right) \) là góc \( \widehat{OMK}={{30}^{O}}\).

Xét tam giác vuông MHO, ta có:  \( HO=OM\tan {{30}^{O}}=R\tan {{30}^{O}}=\frac{R\sqrt{3}}{3} \).

Xét tam giác vuông AHO, ta có:  \( AH=\sqrt{O{{A}^{2}}-O{{H}^{2}}}=\sqrt{{{R}^{2}}-\frac{{{R}^{2}}}{3}}=\frac{R\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \).

Do H là trung điểm của AB nên  \( AB=\frac{2R\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \).

 

Các bài toán liên quan

Bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Một hình trụ có bán kính đáy r = 5 cm và khoảng cách giữa hai đáy h = 7 cm. Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục 3 cm. Diện tích của thiết diện được tạo thành là

Một hình trụ có bán kính đáy r = 5 cm và khoảng cách giữa hai đáy h = 7 cm. Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục 3 cm. Diện tích của thiết diện được tạo thành là:

A. S = 56 cm2

B. S = 55 cm2

D. S = 53 cm2                  

D. S = 46 cm2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Gọi O, O’ là tâm của hai đáy của hình trụ và (P) là mặt phẳng song song với trục và cách trục OO’ một khoảng 3 cm.

Mặt phẳng (P) cắt hai hình tròn đáy (O), (O’) theo hai dây cung lần lượt là AB, CD và cắt mặt xung quanh theo hai đường sinh là AD và BC.

Khi đó ABCD là hình chữ nhật.

Gọi H là trung điểm của AB.

Ta có:  \( \left\{ \begin{align}  & OH\bot AB \\  & OH\bot AD \\ \end{align} \right.\Rightarrow OH\bot (ABCD) \)

 \( \Rightarrow {{d}_{\left( OO’,(P) \right)}}={{d}_{\left( O,(ABCD) \right)}}=OH=3\text{ }cm  \).

Khi đó:  \( AB=2AH=2\sqrt{O{{A}^{2}}-O{{H}^{2}}}=2\sqrt{{{5}^{2}}-{{3}^{2}}}=8 \);  \( AD=OO’=h=7\text{ }cm  \).

Diện tích hình chữ nhật ABCD là: SABCD = AB.AD = 56 cm2.

 

Các bài toán liên quan

Bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho hình trụ có chiều cao bằng 6√2 cm. Biết rằng một mặt phẳng không vuông góc với đáy và cắt hai mặt đáy theo hai dây cung song song AB, A’B’ mà AB=A′B′=6 cm, diện tích tứ giác ABB’A’ bằng 60 cm2. Tính bán kính đáy của hình trụ

Cho hình trụ có chiều cao bằng \( 6\sqrt{2}\text{ }cm  \). Biết rằng một mặt phẳng không vuông góc với đáy và cắt hai mặt đáy theo hai dây cung song song AB, A’B’ mà  \( AB=A’B’=6\text{ }cm  \), diện tích tứ giác ABB’A’ bằng 60 cm2. Tính bán kính đáy của hình trụ.

A. 5 cm

B. \( 3\sqrt{2}\text{ }cm  \)                                       

C. 4 cm             

D.  \( 5\sqrt{2}\text{ }cm  \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Gọi O, O’ là tâm các đáy hình trụ (như hình vẽ).

Vì AB = A’B’ nên (ABB’A’) đi qua trung điểm của đoạn OO’ và ABB’A’ là hình chữ nhật.

Ta có:  \( {{S}_{ABB’A’}}=AB.AA’\Leftrightarrow 60=6.AA’ \) \( \Rightarrow AA’=10\text{ }cm \)

Gọi A1, B1 lần lượt là hình chiếu của A, B trên mặt đáy chứa A’ và B’.

 \( \Rightarrow A’B{{B}_{1}}{{A}_{1}} \) là hình chữ nhật có  \( A’B’=6\text{ }cm \).

\({{B}_{1}}B’=\sqrt{BB'{^{2}}-BB_{1}^{2}}=\sqrt{{{10}^{2}}-{{\left( 6\sqrt{2} \right)}^{2}}}=2\sqrt{7}\)

Gọi R là bán kính đáy của hình trụ, ta có:  \( 2R=A'{{B}_{1}}=\sqrt{{{B}_{1}}B'{^{2}}+A’B'{^{2}}}=8 \)

 \( \Rightarrow R=4\text{ }cm  \)

 

Các bài toán liên quan

Bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho hình trụ có bán kính đáy bằng 5 cm và khoảng cách giữa hai đáy là 7 cm. Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục 3 cm. Tính diện tích S của thiết diện được tạo thành

Cho hình trụ có bán kính đáy bằng 5 cm và khoảng cách giữa hai đáy là 7 cm. Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục 3 cm. Tính diện tích S của thiết diện được tạo thành.

A. 55 cm2

B. 56 cm2

D. 53 cm2                         

D. 46 cm2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Gọi thiết diện là hình chữ nhật ABCD, H là trung điểm CD.

Ta có:  \( \left\{ \begin{align}  & OH\bot CD \\  & OH\bot BC \\ \end{align} \right.\Rightarrow OH\bot (ABCD) \)

 \( \Rightarrow {{d}_{\left( OO’,(ABCD) \right)}}={{d}_{\left( O,(ABCD) \right)}}=OH=3\text{ }cm  \)

 \( \Rightarrow HC=HD=\sqrt{O{{C}^{2}}-O{{H}^{2}}}=\sqrt{{{5}^{2}}-{{3}^{2}}}=4\text{ }cm  \)

 \( \Rightarrow AB=CD=8\text{ }cm  \) \( \Rightarrow {{S}_{ABCD}}=AB.BC=8.7=56\text{ }c{{m}^{2}} \)

 

Các bài toán liên quan

Bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R và chiều cao bằng 3R/2. Mặt phẳng (α) song song với trục của hình trụ và cách trục một khoảng bằng R/2. Tính diện tích thiết diện của hình trụ cắt bởi mặt phẳng (α)

Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R và chiều cao bằng \( \frac{3R}{2} \). Mặt phẳng \( \left( \alpha  \right) \) song song với trục của hình trụ và cách trục một khoảng bằng  \( \frac{R}{2} \). Tính diện tích thiết diện của hình trụ cắt bởi mặt phẳng  \( \left( \alpha  \right) \).

A. \( \frac{2{{R}^{2}}\sqrt{3}}{3} \)

B.  \( \frac{3{{R}^{2}}\sqrt{3}}{2} \)                              

C.  \( \frac{3{{R}^{2}}\sqrt{2}}{2} \)                              

D.  \( \frac{2{{R}^{2}}\sqrt{2}}{3} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Thiết diện của hình trụ cắt bởi mặt phẳng  \( \left( \alpha  \right) \) là hình chữ nhật ABCD với  \( BC=\frac{3R}{2} \).

Gọi H là trung điểm AB, ta có:  \( AH=\frac{R}{2} \) \( \Rightarrow AB=2HB=2\sqrt{{{R}^{2}}-A{{H}^{2}}}=R\sqrt{3} \)

Vậy diện tích thiết diện là:  \( S=AB.CD=R\sqrt{3}.\frac{3R}{2}=\frac{3{{R}^{2}}\sqrt{3}}{2} \)

 

Các bài toán liên quan

Bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Ba chiếc bình hình trụ cùng chứa 1 lượng nước như sau, độ cao mực nước trong bình II gấp đôi bình I và trong bình II gấp đôi bình II. Chọn nhận xét đúng về bán kính đáy r1, r2, r3 của ba bình I, Ox, III

Ba chiếc bình hình trụ cùng chứa 1 lượng nước như sau, độ cao mực nước trong bình II gấp đôi bình I và trong bình II gấp đôi bình II. Chọn nhận xét đúng về bán kính đáy r1, r2, r3 của ba bình I, Ox, III.

A. r1, r2, r3 theo thứ tự lập thành cấp số nhân công bội 2.

B. r1, r2, r3 theo thứ tự lập thành cấp số nhân công bội \( \frac{1}{2} \).

C. r1, r2, r3 theo thứ tự lập thành cấp số nhân công bội \( \sqrt{2} \).

D. r1, r2, r3 theo thứ tự lập thành cấp số nhân công bội  \( \frac{\sqrt{2}}{2} \).

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Gọi V1, V2, V3 lần lượt là thể tích của bình I, II, III.

Ta có: \({{V}_{1}}={{V}_{2}}\Leftrightarrow \pi r_{1}^{2}{{h}_{1}}=\pi r_{2}^{2}{{h}_{2}}\)\(\Leftrightarrow \pi r_{1}^{2}{{h}_{1}}=2\pi r_{2}^{2}{{h}_{1}}\Leftrightarrow {{r}_{2}}=\frac{{{r}_{1}}}{\sqrt{2}}\) (1)

\({{V}_{2}}={{V}_{3}}\Leftrightarrow \pi r_{2}^{2}{{h}_{2}}=\pi r_{3}^{2}{{h}_{3}}\)\(\Leftrightarrow \pi r_{2}^{2}{{h}_{2}}=2\pi r_{2}^{2}{{h}_{2}}\Rightarrow {{r}_{3}}=\frac{{{r}_{2}}}{\sqrt{2}}\) (2).

Từ (1) và (2), ta có  \( {{r}_{1}},{{r}_{2}},{{r}_{3}} \) theo thứ tự lập thành cấp số nhân công bội  \( \frac{\sqrt{2}}{2} \).

 

Các bài toán liên quan

Bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho hình lập phương có cạnh bằng 40 cm và một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn nội tiếp hai mặt đối diện của hình lập phương. Gọi S1, S2 lần lượt là diện tích toàn phần của hình lập phương và diện tích toàn phần của hình trụ

Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng \( 4\pi  \), thiết diện qua trục là hình vuông. Một mặt phẳng  \( \left( \alpha  \right) \) song song với trục, cắt hình trụ theo thiết diện là tứ giác ABB’A’, biết một cạnh của thiết diện là một dây cung của đường tròn đáy của hình trụ và căng một cung 120O. Tính diện tích thiết diện ABB’A’.

A. \( 3\sqrt{2} \)

B.  \( \sqrt{3} \)

C.  \( 2\sqrt{3} \)                                        

D.  \( 2\sqrt{2} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Gọi R, h, l lần lượt là bán kính, chiều cao, đường sinh của hình trụ.

Ta có:  \( {{S}_{xq}}=4\pi \Leftrightarrow 2\pi .R.\ell =4\pi \Leftrightarrow R.\ell =2 \)

Giả sử AB là một dây cung của đường tròn đáy của hình trụ và căng một cung 120O.

Ta có: ABB’A’ là hình chữ nhật có \(AA’=h=\ell \).

Xét tam giác OAB cân tại O,  \( OA=OB=R  \),  \( \widehat{AOB}={{120}^{O}}\Rightarrow AB=R\sqrt{3} \)

 \( {{S}_{ABB’A’}}=AB.AA’=R\sqrt{3}.\ell =2\sqrt{3} \)

 

Các bài toán liên quan

Bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho hình lập phương có cạnh bằng 40 cm và một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn nội tiếp hai mặt đối diện của hình lập phương. Gọi S1, S2 lần lượt là diện tích toàn phần của hình lập phương và diện tích toàn phần của hình trụ

Cho hình lập phương có cạnh bằng 40 cm và một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn nội tiếp hai mặt đối diện của hình lập phương. Gọi S1, S2 lần lượt là diện tích toàn phần của hình lập phương và diện tích toàn phần của hình trụ. Tính \( S={{S}_{1}}+{{S}_{2}}\text{ }\left( c{{m}^{2}} \right) \).

A. \( S=4\left( 2400+\pi \right) \)                           

B.  \( S=2400\left( 4+\pi  \right) \)             

C.  \( S=2400\left( 4+3\pi  \right) \)           

D.  \( S=4\left( 2400+3\pi  \right) \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.