Hướng dẫn giải:

Chọn B

Ta có  \( BK=2a,\,\,KI=a \) nên  \( BI=a\sqrt{5}\Rightarrow \cos \widehat{KBI}=\frac{1}{\sqrt{5}} \) và  \( \sin \widehat{KBI}=\frac{2}{\sqrt{5}} \).

Khi đó  \( \cos \widehat{OBI}=\cos \left( \widehat{KBI}-\widehat{KBO} \right)=\cos \widehat{KBI}.\cos 45{}^\circ +\sin \widehat{KBI}.\sin 45{}^\circ \)

 \( =\frac{1}{\sqrt{5}}.\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{2}{\sqrt{5}}.\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{5}} \).

Kí hiệu  \( AB=2x \) thì  \( OI=x,\,\,OB=x\sqrt{2} \).

Ta có:  \( O{{I}^{2}}=B{{O}^{2}}+B{{I}^{2}}-2.BO.BI.\cos \widehat{OBI}=2{{x}^{2}}+5{{a}^{2}}-2.x\sqrt{2}.a\sqrt{5}.\frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{5}}=2{{x}^{2}}+5{{a}^{2}}-6xa \)

 \( \Leftrightarrow {{x}^{2}}=2{{x}^{2}}+5{{a}^{2}}-6xa\Leftrightarrow {{x}^{2}}-6xa+5{{a}^{2}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=a \\  & x=5a \\ \end{align} \right. \).

Vì  \( x>a \) nên  \( x=5a \) hay  \( r=OI=5a \).

Vậy thể tích khối trụ (T) là  \( V=\pi .{{(5a)}^{2}}.10a=250\pi {{a}^{3}} \).