Cho số thực \( a>0 \). Giả sử hàm số f(x) liên tục và luôn dương trên đoạn \( [0;a] \) thỏa mãn \( f(x).f(a-x)=1 \). Tính tích phân \( I=\int\limits_{0}^{a}{\frac{1}{1+f(x)}dx} \).
A. \( I=\frac{2a}{3} \)
B. \( I=\frac{a}{2} \)
C. \( I=\frac{a}{3} \)
D. \( I=a \)
Hướng dẫn giải:
Đáp án B.
Xét \( I=\int\limits_{0}^{a}{\frac{1}{1+f(x)}dx} \).
Đặt \( t=a-x\Rightarrow x=a-t\Rightarrow dx=-dt \).
Đổi cận: \( \left\{ \begin{align} & x=0\Rightarrow t=a \\ & x=a\Rightarrow t=0 \\ \end{align} \right. \).
Thay vào ta được: \( I=\int\limits_{0}^{a}{\frac{1}{1+f(x)}dx}=\int\limits_{a}^{0}{\frac{1}{1+f(a-t)}(-dt)}=\int\limits_{0}^{a}{\frac{1}{1+f(a-t)}dt}=\int\limits_{0}^{a}{\frac{1}{1+f(a-x)}dx} \).
Suy ra: \(\int\limits_{0}^{a}{\frac{1}{1+f(x)}dx}-\int\limits_{0}^{a}{\frac{1}{1+f(a-x)}dx}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{1+f(a-x)-1-f(x)}{\left( 1+f(x) \right)\left( 1+f(a-x) \right)}dx}\)
\(=\int\limits_{0}^{1}{\frac{f(a-x)-f(x)}{\left( 1+f(x) \right)\left( 1+f(a-x) \right)}dx}=0\).
Do hàm số f(x) liên tục và luôn dương trên đoạn \( [0;a] \) nên \( f(a-x)-f(x)=0\Leftrightarrow f(a-x)=f(x) \), trên đoạn \( [0;a] \).
Mà \( f(x).f(a-x)=1\Rightarrow f(x)=1 \).
Vậy \( I=\int\limits_{0}^{a}{\frac{1}{2}dx}=\frac{a}{2} \).
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!