Cho số thực \( a>0 \). Giả sử hàm số f(x) liên tục và luôn dương trên đoạn \( [0;a] \) thỏa mãn \( f(x).f(a-x)=1 \). Tính tích phân \( I=\int\limits_{0}^{a}{\frac{1}{1+f(x)}dx} \).

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Xét  \( I=\int\limits_{0}^{a}{\frac{1}{1+f(x)}dx} \).

Đặt  \( t=a-x\Rightarrow x=a-t\Rightarrow dx=-dt  \).

Đổi cận:  \( \left\{ \begin{align}  & x=0\Rightarrow t=a \\  & x=a\Rightarrow t=0 \\ \end{align} \right. \).

Thay vào ta được:  \( I=\int\limits_{0}^{a}{\frac{1}{1+f(x)}dx}=\int\limits_{a}^{0}{\frac{1}{1+f(a-t)}(-dt)}=\int\limits_{0}^{a}{\frac{1}{1+f(a-t)}dt}=\int\limits_{0}^{a}{\frac{1}{1+f(a-x)}dx} \).

Suy ra: \(\int\limits_{0}^{a}{\frac{1}{1+f(x)}dx}-\int\limits_{0}^{a}{\frac{1}{1+f(a-x)}dx}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{1+f(a-x)-1-f(x)}{\left( 1+f(x) \right)\left( 1+f(a-x) \right)}dx}\)

\(=\int\limits_{0}^{1}{\frac{f(a-x)-f(x)}{\left( 1+f(x) \right)\left( 1+f(a-x) \right)}dx}=0\).

Do hàm số f(x) liên tục và luôn dương trên đoạn  \( [0;a] \) nên  \( f(a-x)-f(x)=0\Leftrightarrow f(a-x)=f(x) \), trên đoạn  \( [0;a] \).

Mà  \( f(x).f(a-x)=1\Rightarrow f(x)=1 \).

Vậy  \( I=\int\limits_{0}^{a}{\frac{1}{2}dx}=\frac{a}{2} \).