Cho số thực \( a>0 \). Giả sử hàm số f(x) liên tục và luôn dương trên đoạn \( [0;a] \) thỏa mãn \( f(x).f(a-x)=1 \). Tính tích phân \( I=\int\limits_{0}^{a}{\frac{1}{1+f(x)}dx} \).

Cho số thực \( a>0 \). Giả sử hàm số f(x) liên tục và luôn dương trên đoạn  \( [0;a] \) thỏa mãn  \( f(x).f(a-x)=1 \). Tính tích phân  \( I=\int\limits_{0}^{a}{\frac{1}{1+f(x)}dx} \).

A. \( I=\frac{2a}{3} \)                                          

B.  \( I=\frac{a}{2} \)       

C.  \( I=\frac{a}{3} \)                

D.  \( I=a  \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Xét  \( I=\int\limits_{0}^{a}{\frac{1}{1+f(x)}dx} \).

Đặt  \( t=a-x\Rightarrow x=a-t\Rightarrow dx=-dt  \).

Đổi cận:  \( \left\{ \begin{align}  & x=0\Rightarrow t=a \\  & x=a\Rightarrow t=0 \\ \end{align} \right. \).

Thay vào ta được:  \( I=\int\limits_{0}^{a}{\frac{1}{1+f(x)}dx}=\int\limits_{a}^{0}{\frac{1}{1+f(a-t)}(-dt)}=\int\limits_{0}^{a}{\frac{1}{1+f(a-t)}dt}=\int\limits_{0}^{a}{\frac{1}{1+f(a-x)}dx} \).

Suy ra: \(\int\limits_{0}^{a}{\frac{1}{1+f(x)}dx}-\int\limits_{0}^{a}{\frac{1}{1+f(a-x)}dx}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{1+f(a-x)-1-f(x)}{\left( 1+f(x) \right)\left( 1+f(a-x) \right)}dx}\)

\(=\int\limits_{0}^{1}{\frac{f(a-x)-f(x)}{\left( 1+f(x) \right)\left( 1+f(a-x) \right)}dx}=0\).

Do hàm số f(x) liên tục và luôn dương trên đoạn  \( [0;a] \) nên  \( f(a-x)-f(x)=0\Leftrightarrow f(a-x)=f(x) \), trên đoạn  \( [0;a] \).

Mà  \( f(x).f(a-x)=1\Rightarrow f(x)=1 \).

Vậy  \( I=\int\limits_{0}^{a}{\frac{1}{2}dx}=\frac{a}{2} \).

Các bài toán liên quan

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Fanpage Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Nhân Tài Việt

Fanpage Trung Tâm Gia Sư Dạy Kèm Nhân Tài Việt

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *