Cho số thực \( a>0 \). Giả sử hàm số f(x) liên tục và luôn dương trên đoạn \( [0;a] \) thỏa mãn \( f(x).f(a-x)=1 \). Tính tích phân \( I=\int\limits_{0}^{a}{\frac{1}{1+f(x)}dx} \).

Cho số thực \( a>0 \). Giả sử hàm số f(x) liên tục và luôn dương trên đoạn  \( [0;a] \) thỏa mãn  \( f(x).f(a-x)=1 \). Tính tích phân  \( I=\int\limits_{0}^{a}{\frac{1}{1+f(x)}dx} \).

A. \( I=\frac{2a}{3} \)                                          

B.  \( I=\frac{a}{2} \)       

C.  \( I=\frac{a}{3} \)                

D.  \( I=a  \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Xét  \( I=\int\limits_{0}^{a}{\frac{1}{1+f(x)}dx} \).

Đặt  \( t=a-x\Rightarrow x=a-t\Rightarrow dx=-dt  \).

Đổi cận:  \( \left\{ \begin{align}  & x=0\Rightarrow t=a \\  & x=a\Rightarrow t=0 \\ \end{align} \right. \).

Thay vào ta được:  \( I=\int\limits_{0}^{a}{\frac{1}{1+f(x)}dx}=\int\limits_{a}^{0}{\frac{1}{1+f(a-t)}(-dt)}=\int\limits_{0}^{a}{\frac{1}{1+f(a-t)}dt}=\int\limits_{0}^{a}{\frac{1}{1+f(a-x)}dx} \).

Suy ra: \(\int\limits_{0}^{a}{\frac{1}{1+f(x)}dx}-\int\limits_{0}^{a}{\frac{1}{1+f(a-x)}dx}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{1+f(a-x)-1-f(x)}{\left( 1+f(x) \right)\left( 1+f(a-x) \right)}dx}\)

\(=\int\limits_{0}^{1}{\frac{f(a-x)-f(x)}{\left( 1+f(x) \right)\left( 1+f(a-x) \right)}dx}=0\).

Do hàm số f(x) liên tục và luôn dương trên đoạn  \( [0;a] \) nên  \( f(a-x)-f(x)=0\Leftrightarrow f(a-x)=f(x) \), trên đoạn  \( [0;a] \).

Mà  \( f(x).f(a-x)=1\Rightarrow f(x)=1 \).

Vậy  \( I=\int\limits_{0}^{a}{\frac{1}{2}dx}=\frac{a}{2} \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các bài toán liên quan

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *