Cho hàm số f(x) liên tục và nhận giá trị không âm trên đoạn \( \left[ 0;1 \right] \). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( M=\int\limits_{0}^{1}{\left[ 2f(x)+3x \right]f(x)dx}-\int\limits_{0}^{1}{\left[ 4f(x)+x \right]\sqrt{xf(x)}dx} \) bằng
A. \( -\frac{1}{24} \)
B. \( -\frac{1}{8} \)
C. \( -\frac{1}{12} \)
D. \( -\frac{1}{6} \)
Hướng dẫn giải:
Đáp án A.
Ta có: \( M=\int\limits_{0}^{1}{\left[ 2f(x)+3x \right]f(x)dx}-\int\limits_{0}^{1}{\left[ 4f(x)+x \right]\sqrt{xf(x)}dx} \)
\( =\int\limits_{0}^{1}{\left[ 2{{f}^{2}}(x)+3xf(x)-4f(x)\sqrt{xf(x)}-x\sqrt{xf(x)} \right]dx} \)
\( =\int\limits_{0}^{1}{-\left( \sqrt{x}-\sqrt{f(x)} \right)\sqrt{f(x)}\left[ {{\left( \sqrt{f(x)}-\sqrt{x} \right)}^{2}}+f(x) \right]dx} \).
Đặt \( a=\sqrt{x}-\sqrt{f(x)} \), \( b=\sqrt{f(x)} \) thì
\(M=\int\limits_{0}^{1}{\left[ -ab\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right) \right]dx}\ge \int\limits_{0}^{1}{\left[ -\frac{{{(a+b)}^{2}}}{4}.\frac{{{(a+b)}^{2}}}{2} \right]dx}\ge \int\limits_{0}^{1}{-\frac{{{x}^{2}}}{8}dx}=-\frac{1}{24}\).
Các bài toán liên quan
Các bài toán mới!
Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!
Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!
- Nhận dạy kèm môn phổ thông: Toán học, Vật lý, Hóa học, Tiếng Anh các lớp 10, 11, 12, LTDH
- Cơ sở 1: Khu đô thị Garden, Thị trấn Đức Tài, Huyện Đức Linh, Tỉnh Bình Thuận
- Cơ sở 2: Số 103/6, Hẻm 528TC, Đường Trường Chinh, Kp. 7, P. Tân Hưng Thuận, Quận 12, Tp. HCM
- Cơ sở 3: số 33/66, hẻm 33, đường số 5, P. Bình Hưng Hòa, Quận Tân Bình, Tp. HCM
- Hotline: 094.625.1920 - Thầy Nhân (Zalo)
- Với đội ngũ gia sư dạy kèm gồm giáo viên và sinh viên ở các trường uy tín nhất, chúng tôi nhận dạy kèm tại nhà và dạy kèm online 1 kèm 1.
- Nhận dạy kèm môn phổ thông: Toán học, Vật lý, Hóa học, Tiếng Anh, Sinh học, Văn học, … các lớp 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, LTDH và các môn ĐH–CĐ: Toán cao cấp, Xác suất thống kê...
- Nhận dạy kèm Tiếng Anh (Giao tiếp, TOEIC, TOEFL, IELTS, ...) - Tiếng Hoa - Tiếng Hàn - Tiếng Nhật (Giao tiếp, chứng chỉ N5, N4, N3, N2, N1), Tin Học (Văn phòng, Đồ họa, Lập trình,...) cho các học viên ở mọi lứa tuổi.
- Nhận dạy kèm các môn năng khiếu: Cờ Vua, Cờ Tướng, Đàn Ghitar, Đàn Dương Cầm,…
- Đ/C Trung Tâm: Số 103/6, Hẻm 528TC, Đường Trường Chinh, Kp. 7, P. Tân Hưng Thuận, Quận 12, Tp. HCM
- Hotline: 094.625.1920 - Thầy Nhân (Zalo)
No comment yet, add your voice below!