Cho hàm số f(x) liên tục và nhận giá trị không âm trên đoạn \( \left[ 0;1 \right] \). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức  \( M=\int\limits_{0}^{1}{\left[ 2f(x)+3x \right]f(x)dx}-\int\limits_{0}^{1}{\left[ 4f(x)+x \right]\sqrt{xf(x)}dx} \) bằng

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Ta có:  \( M=\int\limits_{0}^{1}{\left[ 2f(x)+3x \right]f(x)dx}-\int\limits_{0}^{1}{\left[ 4f(x)+x \right]\sqrt{xf(x)}dx} \)

 \( =\int\limits_{0}^{1}{\left[ 2{{f}^{2}}(x)+3xf(x)-4f(x)\sqrt{xf(x)}-x\sqrt{xf(x)} \right]dx} \)

 \( =\int\limits_{0}^{1}{-\left( \sqrt{x}-\sqrt{f(x)} \right)\sqrt{f(x)}\left[ {{\left( \sqrt{f(x)}-\sqrt{x} \right)}^{2}}+f(x) \right]dx} \).

Đặt  \( a=\sqrt{x}-\sqrt{f(x)} \),  \( b=\sqrt{f(x)} \) thì

\(M=\int\limits_{0}^{1}{\left[ -ab\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right) \right]dx}\ge \int\limits_{0}^{1}{\left[ -\frac{{{(a+b)}^{2}}}{4}.\frac{{{(a+b)}^{2}}}{2} \right]dx}\ge \int\limits_{0}^{1}{-\frac{{{x}^{2}}}{8}dx}=-\frac{1}{24}\).