Cho hàm số f(x) liên tục và nhận giá trị không âm trên đoạn \( \left[ 0;1 \right] \). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( M=\int\limits_{0}^{1}{\left[ 2f(x)+3x \right]f(x)dx}-\int\limits_{0}^{1}{\left[ 4f(x)+x \right]\sqrt{xf(x)}dx} \) bằng
A. \( -\frac{1}{24} \)
B. \( -\frac{1}{8} \)
C. \( -\frac{1}{12} \)
D. \( -\frac{1}{6} \)
Hướng dẫn giải:
Đáp án A.
Ta có: \( M=\int\limits_{0}^{1}{\left[ 2f(x)+3x \right]f(x)dx}-\int\limits_{0}^{1}{\left[ 4f(x)+x \right]\sqrt{xf(x)}dx} \)
\( =\int\limits_{0}^{1}{\left[ 2{{f}^{2}}(x)+3xf(x)-4f(x)\sqrt{xf(x)}-x\sqrt{xf(x)} \right]dx} \)
\( =\int\limits_{0}^{1}{-\left( \sqrt{x}-\sqrt{f(x)} \right)\sqrt{f(x)}\left[ {{\left( \sqrt{f(x)}-\sqrt{x} \right)}^{2}}+f(x) \right]dx} \).
Đặt \( a=\sqrt{x}-\sqrt{f(x)} \), \( b=\sqrt{f(x)} \) thì
\(M=\int\limits_{0}^{1}{\left[ -ab\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right) \right]dx}\ge \int\limits_{0}^{1}{\left[ -\frac{{{(a+b)}^{2}}}{4}.\frac{{{(a+b)}^{2}}}{2} \right]dx}\ge \int\limits_{0}^{1}{-\frac{{{x}^{2}}}{8}dx}=-\frac{1}{24}\).
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!