Cho số thực \( a>0 \). Giả sử hàm số f(x) liên tục và luôn dương trên đoạn \( [0;a] \) thỏa mãn \( f(x).f(a-x)=1 \). Tính tích phân \( I=\int\limits_{0}^{a}{\frac{1}{1+f(x)}dx} \).

Cho số thực \( a>0 \). Giả sử hàm số f(x) liên tục và luôn dương trên đoạn  \( [0;a] \) thỏa mãn  \( f(x).f(a-x)=1 \). Tính tích phân  \( I=\int\limits_{0}^{a}{\frac{1}{1+f(x)}dx} \).

A. \( I=\frac{2a}{3} \)                                          

B.  \( I=\frac{a}{2} \)       

C.  \( I=\frac{a}{3} \)                

D.  \( I=a  \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Xét  \( I=\int\limits_{0}^{a}{\frac{1}{1+f(x)}dx} \).

Đặt  \( t=a-x\Rightarrow x=a-t\Rightarrow dx=-dt  \).

Đổi cận:  \( \left\{ \begin{align}  & x=0\Rightarrow t=a \\  & x=a\Rightarrow t=0 \\ \end{align} \right. \).

Thay vào ta được:  \( I=\int\limits_{0}^{a}{\frac{1}{1+f(x)}dx}=\int\limits_{a}^{0}{\frac{1}{1+f(a-t)}(-dt)}=\int\limits_{0}^{a}{\frac{1}{1+f(a-t)}dt}=\int\limits_{0}^{a}{\frac{1}{1+f(a-x)}dx} \).

Suy ra: \(\int\limits_{0}^{a}{\frac{1}{1+f(x)}dx}-\int\limits_{0}^{a}{\frac{1}{1+f(a-x)}dx}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{1+f(a-x)-1-f(x)}{\left( 1+f(x) \right)\left( 1+f(a-x) \right)}dx}\)

\(=\int\limits_{0}^{1}{\frac{f(a-x)-f(x)}{\left( 1+f(x) \right)\left( 1+f(a-x) \right)}dx}=0\).

Do hàm số f(x) liên tục và luôn dương trên đoạn  \( [0;a] \) nên  \( f(a-x)-f(x)=0\Leftrightarrow f(a-x)=f(x) \), trên đoạn  \( [0;a] \).

Mà  \( f(x).f(a-x)=1\Rightarrow f(x)=1 \).

Vậy  \( I=\int\limits_{0}^{a}{\frac{1}{2}dx}=\frac{a}{2} \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các bài toán liên quan

Các bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 7b4a035yn3 may not exist

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *