Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có các cạnh đều bằng a. Tính diện tích S của mặt cầu đi qua 6 đỉnh của hình lăng trụ đó

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có các cạnh đều bằng a. Tính diện tích S của mặt cầu đi qua 6 đỉnh của hình lăng trụ đó.

A. \( S=\frac{7\pi {{a}^{2}}}{3} \)

B.  \( S=\frac{7{{a}^{2}}}{3} \)             

C.  \( S=\frac{49\pi {{a}^{2}}}{144} \)   

D.  \( S=\frac{49{{a}^{2}}}{114} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Gọi I, I’ lần lượt là trọng tâm tam giác ABC, A’B’C’, O là trung điểm của II’.

Khi đó O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ.

Ta có: \(AI=\frac{2}{3}AM=\frac{a\sqrt{3}}{3},OI=\frac{2}{2}\)

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ  \( R=OA=\sqrt{O{{I}^{2}}+A{{I}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{\sqrt{3}}{3}a \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{7}}{\sqrt{12}} \).

Diện tích mặt cầu  \( S=4\pi {{R}^{2}}=4\pi .\frac{7{{a}^{2}}}{12}=\frac{7\pi {{a}^{2}}}{3} \).

 

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, AD = 2a, AA’ = 3a. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ là

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, AD = 2a, AA’ = 3a. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ là

A. \( \frac{28\sqrt{14}\pi {{a}^{3}}}{3} \)

B.  \( \sqrt{6}\pi {{a}^{3}} \)             

C.  \( \frac{7\sqrt{14}\pi {{a}^{3}}}{3} \)

D.  \( 4\sqrt{6}\pi {{a}^{3}} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Gọi O là tâm của hình hộp ABCD.A’B’C’D’.

Tứ giác ABC’D’ là hình chữ nhật có tâm O nên OA = OB = OC’ = OD’    (1).

Tương tự ta có các tứ giác CDB’A’, BDD’B’ là các hình chữ nhật tâm O nên OC = OD = OA’ = OB’, OB = OD = OB’ = OD’   (2)

Từ (1) và (2) ta có điểm O cách đều các đỉnh của hình hộp nên O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình hộp.

Bán kính mặt cầu là: \(R=OA=\frac{AC’}{2}=\frac{\sqrt{A{{{{A}’}}^{2}}+{A}'{{{{C}’}}^{2}}}}{2}\) \(=\frac{\sqrt{A{{{{A}’}}^{2}}+{A}'{{{{B}’}}^{2}}+{A}'{{{{D}’}}^{2}}}}{2}=\frac{\sqrt{9{{a}^{2}}+{{a}^{2}}+4{{a}^{2}}}}{2}=\frac{a\sqrt{14}}{2}\)

Thể tích khối cầu là:  \( V=\frac{4}{3}\pi {{\left( \frac{a\sqrt{14}}{2} \right)}^{3}}=\frac{7\sqrt{14}\pi {{a}^{3}}}{3} \)

 

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Tỉ số thể tích giữa khối lập phương và khối cầu ngoại tiếp khối lập phương đó bằng

Tỉ số thể tích giữa khối lập phương và khối cầu ngoại tiếp khối lập phương đó bằng

A. \( \frac{\sqrt{3}}{2}\pi \)                                                                                    

B.  \( \frac{2\sqrt{3}}{3\pi } \) 

C.  \( \frac{3\sqrt{2}}{2\pi } \)                                   

D.  \( \frac{\pi \sqrt{2}}{3} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Xét hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh 2a nội tiếp trong mặt cầu (S).

Khi ấy, khối lập phương có thể tích  \( {{V}_{1}}={{\left( 2a \right)}^{3}}=8{{a}^{3}} \) và bán kính mặt cầu (S) là  \( R=\frac{2a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3} \).

Thể tích khối cầu (S):  \( {{V}_{2}}=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\frac{4}{3}\pi {{\left( a\sqrt{3} \right)}^{3}}=4\pi {{a}^{3}}\sqrt{3} \)

Vậy tỉ số thể tích giữa khối lập phương và khối cầu ngoại tiếp khối lập phương bằng

 \( \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{8{{a}^{3}}}{4\pi {{a}^{3}}}=\frac{2}{\pi \sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3\pi } \)

 

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Đường kính của mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Đường kính của mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương là

A. \( a\sqrt{3} \)                                           

B.  \( a\sqrt{2} \)                       

C.  \( \frac{\sqrt{3}}{2}a  \)                                       

D.  \( \frac{\sqrt{2}}{2}a  \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Độ dài đường kính của mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương bằng độ dài đường chéo của hình lập phương bằng AC’. Ta có ABCD là hình vuông cạnh a  \( \Rightarrow AC=a\sqrt{2} \)

Xét tam giác A’AC vuộng tại A, ta có:  \( A{C}’=\sqrt{A{{{{A}’}}^{2}}+A{{C}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}}=a\sqrt{3} \)

 

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho hình lập phương có cạnh bằng 1. Thể tích mặt cầu đi qua các đỉnh của hình lập phương

Cho hình lập phương có cạnh bằng 1. Thể tích mặt cầu đi qua các đỉnh của hình lập phương là:

A. \( \frac{2\pi }{3} \)

B.  \( \frac{\sqrt{3}\pi }{2} \)    

C.  \( \frac{3\pi }{2} \)     

D.  \( \frac{3\sqrt{3}\pi }{2} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Mặt cầu qua các đỉnh của hình lập phương có đường kính là A’C.

Bán kính mặt cầu là:  \( R=\frac{A’C}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2} \)

Thể tích khối cầu là:  \( V=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\frac{\sqrt{3}\pi }{2} \)

 

Các bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!