Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có chiều cao bằng 4, đáy ABC là tam giác cân tại A với AB = AC = 2; BACˆ=120O. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ trên

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Gọi M, M’ lần lượt là trung điểm của BC và B’C’. Gọi I, I’ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và tam giác A’B’C’. Khi đó, II’ là trục đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC và tam giác A’B’C’, suy ra tâm mặt cầu là trung điểm O của II’.

Ta có:  \( BM=AB.\sin {{60}^{O}}=\sqrt{3}\Rightarrow BC=2\sqrt{3} \)

 \( \frac{BC}{\sin \widehat{BAC}}=2.IA\Rightarrow IA=\frac{2\sqrt{3}}{2\sin {{120}^{O}}}=2 \); OI = 2

 \( \Rightarrow OA=\sqrt{O{{I}^{2}}+I{{A}^{2}}}=2\sqrt{2} \)

Bán kính mặt cầu  \( R=OA=2\sqrt{2} \)

Diện tích mặt cầu là \(S=4\pi {{R}^{2}}=4\pi {{\left( 2\sqrt{2} \right)}^{2}}=32\pi \)