Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, AD = 2a, AA’ = 3a. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ là

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Gọi O là tâm của hình hộp ABCD.A’B’C’D’.

Tứ giác ABC’D’ là hình chữ nhật có tâm O nên OA = OB = OC’ = OD’    (1).

Tương tự ta có các tứ giác CDB’A’, BDD’B’ là các hình chữ nhật tâm O nên OC = OD = OA’ = OB’, OB = OD = OB’ = OD’   (2)

Từ (1) và (2) ta có điểm O cách đều các đỉnh của hình hộp nên O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình hộp.

Bán kính mặt cầu là: \(R=OA=\frac{AC’}{2}=\frac{\sqrt{A{{{{A}’}}^{2}}+{A}'{{{{C}’}}^{2}}}}{2}\) \(=\frac{\sqrt{A{{{{A}’}}^{2}}+{A}'{{{{B}’}}^{2}}+{A}'{{{{D}’}}^{2}}}}{2}=\frac{\sqrt{9{{a}^{2}}+{{a}^{2}}+4{{a}^{2}}}}{2}=\frac{a\sqrt{14}}{2}\)

Thể tích khối cầu là:  \( V=\frac{4}{3}\pi {{\left( \frac{a\sqrt{14}}{2} \right)}^{3}}=\frac{7\sqrt{14}\pi {{a}^{3}}}{3} \)