Cho hàm số \( y=f(x) \) có đạo hàm liên tục trên đoạn \( \left[ -2;1 \right] \) thỏa mản \( f(0)=3 \) và \( {{\left( f(x) \right)}^{2}}.{f}'(x)=3{{x}^{2}}+4x+2 \). Giá trị lớn nhất của hàm số  \( y=f(x) \) trên đoạn  \( \left[ -2;1 \right] \) là

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Ta có:  \( {{\left( f(x) \right)}^{2}}.{f}'(x)=3{{x}^{2}}+4x+2 \)     (*)

Lấy nguyên hàm 2 vế của phương trình trên ta được:

 \( \int{{{\left( f(x) \right)}^{2}}.{f}'(x)dx}=\int{\left( 3{{x}^{2}}+4x+2 \right)dx}\Leftrightarrow \int{{{\left( f(x) \right)}^{2}}d\left( f(x) \right)}={{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+2x+C  \)

 \( \Leftrightarrow \frac{{{\left( f(x) \right)}^{3}}}{3}={{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+2x+C\Leftrightarrow {{\left( f(x) \right)}^{3}}=3\left( {{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+2x+C \right) \)    (1)

Theo đề bài  \( f(0)=3 \) nên từ (1) ta có  \( {{\left( f(0) \right)}^{3}}=3\left( {{0}^{3}}+{{2.0}^{2}}+2.0+C \right)\Leftrightarrow 27=3C\Leftrightarrow C=9 \)

 \( \Rightarrow {{\left( f(x) \right)}^{3}}=3\left( {{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+2x+9 \right)\Rightarrow f(x)=\sqrt[3]{3({{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+2x+9)} \).

Tiếp theo chúng ta tìm giá trị lớn nhất của hàm số  \( y=f(x) \) trên đoạn  \( \left[ -2;1 \right] \).

Cách 1:

Vì  \( {{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+2x+9={{x}^{2}}(x+2)+2(x+2)+5>0,\text{ }\forall x\in \left[ -2;1 \right] \) nên  \( f(x) \) có đạo hàm trên  \( \left[ -2;1 \right] \) và

 \( {f}'(x)=\frac{3(3{{x}^{2}}+4x+2)}{3\sqrt[3]{{{\left[ 3({{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+2x+9) \right]}^{2}}}}=\frac{3{{x}^{2}}+4x+2}{\sqrt[3]{{{\left[ 3({{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+2x+9) \right]}^{2}}}}>0,\text{ }\forall x\in \left[ -2;1 \right] \).

 \( \Rightarrow  \) Hàm số  \( y=f(x) \) đồng biến trên  \( \left[ -2;1 \right]\Rightarrow \underset{[-2;1]}{\mathop{Max}}\,f(x)=f(1)=\sqrt[3]{42} \).

Vậy  \( \underset{[-2;1]}{\mathop{Max}}\,f(x)=f(1)=\sqrt[3]{42} \).

Cách 2:

 \( f(x)=\sqrt[3]{3({{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+2x+9)}=\sqrt[3]{3{{\left( x+\frac{2}{3} \right)}^{3}}+2\left( x+\frac{2}{3} \right)+\frac{223}{9}} \).

Vì các hàm số  \( y=3{{\left( x+\frac{2}{3} \right)}^{3}},\text{ }y=2\left( x+\frac{2}{3} \right)+\frac{223}{9} \) đồng biến trên  \( \mathbb{R} \) nên hàm số  \( y=\sqrt[3]{3{{\left( x+\frac{2}{3} \right)}^{3}}+2\left( x+\frac{2}{3} \right)+\frac{223}{9}} \) cũng đồng biến trên  \( \mathbb{R} \). Do đó, hàm số  \( y=f(x) \) đồng biến trên  \( \left[ -2;1 \right] \).

Vậy  \( \underset{[-2;1]}{\mathop{Max}}\,f(x)=f(1)=\sqrt[3]{42} \).