Cho hàm số \( y=f(x) \) có đạo hàm liên tục trên đoạn \( \left[ -2;1 \right] \) thỏa mản \( f(0)=3 \) và \( {{\left( f(x) \right)}^{2}}.{f}'(x)=3{{x}^{2}}+4x+2 \). Giá trị lớn nhất của hàm số  \( y=f(x) \) trên đoạn  \( \left[ -2;1 \right] \) là

Cho hàm số \( y=f(x) \) có đạo hàm liên tục trên đoạn  \( \left[ -2;1 \right] \) thỏa mản  \( f(0)=3 \) và  \( {{\left( f(x) \right)}^{2}}.{f}'(x)=3{{x}^{2}}+4x+2 \). Giá trị lớn nhất của hàm số  \( y=f(x) \) trên đoạn  \( \left[ -2;1 \right] \) là:

A. \( 2\sqrt[3]{42} \)

B.  \( 2\sqrt[3]{15} \)       

C.  \( \sqrt[3]{42} \)                  

D.  \( \sqrt[3]{15} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Ta có:  \( {{\left( f(x) \right)}^{2}}.{f}'(x)=3{{x}^{2}}+4x+2 \)     (*)

Lấy nguyên hàm 2 vế của phương trình trên ta được:

 \( \int{{{\left( f(x) \right)}^{2}}.{f}'(x)dx}=\int{\left( 3{{x}^{2}}+4x+2 \right)dx}\Leftrightarrow \int{{{\left( f(x) \right)}^{2}}d\left( f(x) \right)}={{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+2x+C  \)

 \( \Leftrightarrow \frac{{{\left( f(x) \right)}^{3}}}{3}={{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+2x+C\Leftrightarrow {{\left( f(x) \right)}^{3}}=3\left( {{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+2x+C \right) \)    (1)

Theo đề bài  \( f(0)=3 \) nên từ (1) ta có  \( {{\left( f(0) \right)}^{3}}=3\left( {{0}^{3}}+{{2.0}^{2}}+2.0+C \right)\Leftrightarrow 27=3C\Leftrightarrow C=9 \)

 \( \Rightarrow {{\left( f(x) \right)}^{3}}=3\left( {{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+2x+9 \right)\Rightarrow f(x)=\sqrt[3]{3({{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+2x+9)} \).

Tiếp theo chúng ta tìm giá trị lớn nhất của hàm số  \( y=f(x) \) trên đoạn  \( \left[ -2;1 \right] \).

Cách 1:

Vì  \( {{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+2x+9={{x}^{2}}(x+2)+2(x+2)+5>0,\text{ }\forall x\in \left[ -2;1 \right] \) nên  \( f(x) \) có đạo hàm trên  \( \left[ -2;1 \right] \) và

 \( {f}'(x)=\frac{3(3{{x}^{2}}+4x+2)}{3\sqrt[3]{{{\left[ 3({{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+2x+9) \right]}^{2}}}}=\frac{3{{x}^{2}}+4x+2}{\sqrt[3]{{{\left[ 3({{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+2x+9) \right]}^{2}}}}>0,\text{ }\forall x\in \left[ -2;1 \right] \).

 \( \Rightarrow  \) Hàm số  \( y=f(x) \) đồng biến trên  \( \left[ -2;1 \right]\Rightarrow \underset{[-2;1]}{\mathop{Max}}\,f(x)=f(1)=\sqrt[3]{42} \).

Vậy  \( \underset{[-2;1]}{\mathop{Max}}\,f(x)=f(1)=\sqrt[3]{42} \).

Cách 2:

 \( f(x)=\sqrt[3]{3({{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+2x+9)}=\sqrt[3]{3{{\left( x+\frac{2}{3} \right)}^{3}}+2\left( x+\frac{2}{3} \right)+\frac{223}{9}} \).

Vì các hàm số  \( y=3{{\left( x+\frac{2}{3} \right)}^{3}},\text{ }y=2\left( x+\frac{2}{3} \right)+\frac{223}{9} \) đồng biến trên  \( \mathbb{R} \) nên hàm số  \( y=\sqrt[3]{3{{\left( x+\frac{2}{3} \right)}^{3}}+2\left( x+\frac{2}{3} \right)+\frac{223}{9}} \) cũng đồng biến trên  \( \mathbb{R} \). Do đó, hàm số  \( y=f(x) \) đồng biến trên  \( \left[ -2;1 \right] \).

Vậy  \( \underset{[-2;1]}{\mathop{Max}}\,f(x)=f(1)=\sqrt[3]{42} \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các bài toán liên quan

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *