Cho hàm số \( y=f(x) \) có đạo hàm liên tục trên khoảng  \( \left( 0;+\infty  \right) \), biết  \( {f}'(x)+(2x+1){{f}^{2}}(x)=0,\text{ }f(x)>0,\text{ }\forall x>0 \) và \( f(2)=\frac{1}{6} \). Tính giá trị của \( P=f(1)+f(2)+…+f(2019) \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án C.

Trường hợp 1:  \( f(x)=0\Rightarrow {f}'(x)=0 \) trái giả thiết.

Trường hợp 2:  \( f(x)\ne 0\Rightarrow {f}'(x)=-(2x+1).{{f}^{2}}(x)\Rightarrow \frac{{f}'(x)}{{{f}^{2}}(x)}=-(2x+1) \)

 \( \Rightarrow \int{\frac{{f}'(x)}{{{f}^{2}}(x)}dx}=-\int{(2x+1)dx}\Rightarrow -\frac{1}{f(x)}=-({{x}^{2}}+x+C) \).

Ta có:  \( f(2)=\frac{1}{6}\Rightarrow C=0\Rightarrow f(x)=\frac{1}{{{x}^{2}}+x}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1} \).

 \( \Rightarrow P=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…-\frac{1}{2020}=\frac{2019}{2020} \).