Cho hàm số \( y=f(x) \) có đạo hàm liên tục trên khoảng \( \left( 0;+\infty \right) \), biết \( {f}'(x)+(2x+1){{f}^{2}}(x)=0,\text{ }f(x)>0,\text{ }\forall x>0 \) và \( f(2)=\frac{1}{6} \). Tính giá trị của \( P=f(1)+f(2)+…+f(2019) \).
A. \( \frac{2021}{2020} \)
B. \( \frac{2020}{2019} \)
C. \( \frac{2019}{2020} \)
D. \( \frac{2018}{2019} \)
Hướng dẫn giải:
Đáp án C.
Trường hợp 1: \( f(x)=0\Rightarrow {f}'(x)=0 \) trái giả thiết.
Trường hợp 2: \( f(x)\ne 0\Rightarrow {f}'(x)=-(2x+1).{{f}^{2}}(x)\Rightarrow \frac{{f}'(x)}{{{f}^{2}}(x)}=-(2x+1) \)
\( \Rightarrow \int{\frac{{f}'(x)}{{{f}^{2}}(x)}dx}=-\int{(2x+1)dx}\Rightarrow -\frac{1}{f(x)}=-({{x}^{2}}+x+C) \).
Ta có: \( f(2)=\frac{1}{6}\Rightarrow C=0\Rightarrow f(x)=\frac{1}{{{x}^{2}}+x}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1} \).
\( \Rightarrow P=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…-\frac{1}{2020}=\frac{2019}{2020} \).
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!