Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên \( \mathbb{R} \) và thỏa mãn \( f(0)=3 \) và \( f(x)+f(2-x)={{x}^{2}}-2x+2,\text{ }\forall x\in \mathbb{R} \). Tích phân \( \int\limits_{0}^{2}{x{f}'(x)dx} \) bằng

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên \( \mathbb{R} \) và thỏa mãn  \( f(0)=3 \) và  \( f(x)+f(2-x)={{x}^{2}}-2x+2,\text{ }\forall x\in \mathbb{R} \). Tích phân  \( \int\limits_{0}^{2}{x{f}'(x)dx} \) bằng

A. \( -\frac{4}{3} \)

B.  \( \frac{2}{3} \)                    

C.  \( \frac{5}{3} \)          

D.  \( -\frac{10}{3} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Cách 1:

+ Xét  \( \int\limits_{0}^{2}{x{f}'(x)dx} \).

Đặt:  \( \left\{ \begin{align}  & u=x\Rightarrow du=dx \\  & dv={f}'(x)dx\Rightarrow v=f(x) \\ \end{align} \right. \).

Khi đó:  \( \int\limits_{0}^{2}{x{f}'(x)dx}=\left. xf(x) \right|_{0}^{2}-\int\limits_{0}^{2}{f(x)dx}=2f(2)-\int\limits_{0}^{2}{f(x)dx} \)

+ Ta có:  \( f(x)+f(2-x)={{x}^{2}}-2x+2,\text{ }\forall x\in \mathbb{R} \)  (1)

Thay  \( x=0 \) vào (1) ta được:  \( f(0)+f(2)=2\Rightarrow f(2)=2-f(0)=2-3=-1 \).

+ Xét  \( \int\limits_{0}^{2}{f(x)dx} \)

Đặt  \( t=2-x\Rightarrow x=2-t\Rightarrow dx=-dt  \).

Đổi cận:  \( \left\{ \begin{align}  & x=0\Rightarrow t=2 \\  & x=2\Rightarrow t=0 \\ \end{align} \right. \).

Khi đó: \(\int\limits_{0}^{2}{f(x)dx}=-\int\limits_{2}^{0}{f(2-t)dt}=\int\limits_{0}^{2}{f(2-t)dt}=\int\limits_{0}^{2}{f(2-x)dx}\).

Do đó: \(\int\limits_{0}^{2}{f(x)dx}+\int\limits_{0}^{2}{f(2-x)dx}=\int\limits_{0}^{2}{\left[ f(x)+f(2-x) \right]dx}=\int\limits_{0}^{2}{\left( {{x}^{2}}-2x+2 \right)dx}\)

\(\Leftrightarrow 2\int\limits_{0}^{2}{f(x)dx}=\frac{8}{3}\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{2}{f(x)dx}=\frac{4}{3}\).

Vậy  \( \int\limits_{0}^{2}{x{f}'(x)dx}=\left. xf(x) \right|_{0}^{2}-\int\limits_{0}^{2}{f(x)dx}=2f(2)-\int\limits_{0}^{2}{f(x)dx}=2.(-1)-\frac{4}{3}=-\frac{10}{3} \).

Cách 2:

Từ  \( \left\{ \begin{align}  & f(x)+f(2-x)={{x}^{2}}-2x+2\begin{matrix}   {} & (1)  \\\end{matrix} \\  & f(0)=3 \\ \end{align} \right. \).

Thay  \( x=0;\text{ }x=1 \) vào (1) ta được:  \( f(2)=-1;\text{ }f(1)=\frac{1}{2} \).

Xét hàm số  \( f(x)=a{{x}^{2}}+bx+c  \) từ giả thiết trên ta có:  \( \left\{ \begin{align} & c=3 \\  & a+b+c=\frac{1}{2} \\  & 4a+2b+c=-1 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & c=3 \\  & a=\frac{1}{2} \\  & b=-3 \\ \end{align} \right. \).

Do đó:  \( f(x)=\frac{1}{2}{{x}^{2}}-3x+3\Rightarrow {f}'(x)=x-3 \).

Suy ra: \(\int\limits_{0}^{2}{x{f}'(x)dx}=\int\limits_{0}^{2}{x(x-3)dx}=-\frac{10}{3}\).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các bài toán liên quan

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Error: View 7b4a035yn3 may not exist

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *