Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên \( \mathbb{R} \) và thỏa mãn \( f(0)=3 \) và \( f(x)+f(2-x)={{x}^{2}}-2x+2,\text{ }\forall x\in \mathbb{R} \). Tích phân \( \int\limits_{0}^{2}{x{f}'(x)dx} \) bằng

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên \( \mathbb{R} \) và thỏa mãn  \( f(0)=3 \) và  \( f(x)+f(2-x)={{x}^{2}}-2x+2,\text{ }\forall x\in \mathbb{R} \). Tích phân  \( \int\limits_{0}^{2}{x{f}'(x)dx} \) bằng

A. \( -\frac{4}{3} \)

B.  \( \frac{2}{3} \)                    

C.  \( \frac{5}{3} \)          

D.  \( -\frac{10}{3} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Cách 1:

+ Xét  \( \int\limits_{0}^{2}{x{f}'(x)dx} \).

Đặt:  \( \left\{ \begin{align}  & u=x\Rightarrow du=dx \\  & dv={f}'(x)dx\Rightarrow v=f(x) \\ \end{align} \right. \).

Khi đó:  \( \int\limits_{0}^{2}{x{f}'(x)dx}=\left. xf(x) \right|_{0}^{2}-\int\limits_{0}^{2}{f(x)dx}=2f(2)-\int\limits_{0}^{2}{f(x)dx} \)

+ Ta có:  \( f(x)+f(2-x)={{x}^{2}}-2x+2,\text{ }\forall x\in \mathbb{R} \)  (1)

Thay  \( x=0 \) vào (1) ta được:  \( f(0)+f(2)=2\Rightarrow f(2)=2-f(0)=2-3=-1 \).

+ Xét  \( \int\limits_{0}^{2}{f(x)dx} \)

Đặt  \( t=2-x\Rightarrow x=2-t\Rightarrow dx=-dt  \).

Đổi cận:  \( \left\{ \begin{align}  & x=0\Rightarrow t=2 \\  & x=2\Rightarrow t=0 \\ \end{align} \right. \).

Khi đó: \(\int\limits_{0}^{2}{f(x)dx}=-\int\limits_{2}^{0}{f(2-t)dt}=\int\limits_{0}^{2}{f(2-t)dt}=\int\limits_{0}^{2}{f(2-x)dx}\).

Do đó: \(\int\limits_{0}^{2}{f(x)dx}+\int\limits_{0}^{2}{f(2-x)dx}=\int\limits_{0}^{2}{\left[ f(x)+f(2-x) \right]dx}=\int\limits_{0}^{2}{\left( {{x}^{2}}-2x+2 \right)dx}\)

\(\Leftrightarrow 2\int\limits_{0}^{2}{f(x)dx}=\frac{8}{3}\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{2}{f(x)dx}=\frac{4}{3}\).

Vậy  \( \int\limits_{0}^{2}{x{f}'(x)dx}=\left. xf(x) \right|_{0}^{2}-\int\limits_{0}^{2}{f(x)dx}=2f(2)-\int\limits_{0}^{2}{f(x)dx}=2.(-1)-\frac{4}{3}=-\frac{10}{3} \).

Cách 2:

Từ  \( \left\{ \begin{align}  & f(x)+f(2-x)={{x}^{2}}-2x+2\begin{matrix}   {} & (1)  \\\end{matrix} \\  & f(0)=3 \\ \end{align} \right. \).

Thay  \( x=0;\text{ }x=1 \) vào (1) ta được:  \( f(2)=-1;\text{ }f(1)=\frac{1}{2} \).

Xét hàm số  \( f(x)=a{{x}^{2}}+bx+c  \) từ giả thiết trên ta có:  \( \left\{ \begin{align} & c=3 \\  & a+b+c=\frac{1}{2} \\  & 4a+2b+c=-1 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & c=3 \\  & a=\frac{1}{2} \\  & b=-3 \\ \end{align} \right. \).

Do đó:  \( f(x)=\frac{1}{2}{{x}^{2}}-3x+3\Rightarrow {f}'(x)=x-3 \).

Suy ra: \(\int\limits_{0}^{2}{x{f}'(x)dx}=\int\limits_{0}^{2}{x(x-3)dx}=-\frac{10}{3}\).

Các bài toán liên quan

Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!

Fanpage Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Nhân Tài Việt

Fanpage Trung Tâm Gia Sư Dạy Kèm Nhân Tài Việt

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *