Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên \( \mathbb{R} \) và thỏa mãn \( f(0)=3 \) và \( f(x)+f(2-x)={{x}^{2}}-2x+2,\text{ }\forall x\in \mathbb{R} \). Tích phân \( \int\limits_{0}^{2}{x{f}'(x)dx} \) bằng
A. \( -\frac{4}{3} \)
B. \( \frac{2}{3} \)
C. \( \frac{5}{3} \)
D. \( -\frac{10}{3} \)
Hướng dẫn giải:
Đáp án D.
Cách 1:
+ Xét \( \int\limits_{0}^{2}{x{f}'(x)dx} \).
Đặt: \( \left\{ \begin{align} & u=x\Rightarrow du=dx \\ & dv={f}'(x)dx\Rightarrow v=f(x) \\ \end{align} \right. \).
Khi đó: \( \int\limits_{0}^{2}{x{f}'(x)dx}=\left. xf(x) \right|_{0}^{2}-\int\limits_{0}^{2}{f(x)dx}=2f(2)-\int\limits_{0}^{2}{f(x)dx} \)
+ Ta có: \( f(x)+f(2-x)={{x}^{2}}-2x+2,\text{ }\forall x\in \mathbb{R} \) (1)
Thay \( x=0 \) vào (1) ta được: \( f(0)+f(2)=2\Rightarrow f(2)=2-f(0)=2-3=-1 \).
+ Xét \( \int\limits_{0}^{2}{f(x)dx} \)
Đặt \( t=2-x\Rightarrow x=2-t\Rightarrow dx=-dt \).
Đổi cận: \( \left\{ \begin{align} & x=0\Rightarrow t=2 \\ & x=2\Rightarrow t=0 \\ \end{align} \right. \).
Khi đó: \(\int\limits_{0}^{2}{f(x)dx}=-\int\limits_{2}^{0}{f(2-t)dt}=\int\limits_{0}^{2}{f(2-t)dt}=\int\limits_{0}^{2}{f(2-x)dx}\).
Do đó: \(\int\limits_{0}^{2}{f(x)dx}+\int\limits_{0}^{2}{f(2-x)dx}=\int\limits_{0}^{2}{\left[ f(x)+f(2-x) \right]dx}=\int\limits_{0}^{2}{\left( {{x}^{2}}-2x+2 \right)dx}\)
\(\Leftrightarrow 2\int\limits_{0}^{2}{f(x)dx}=\frac{8}{3}\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{2}{f(x)dx}=\frac{4}{3}\).
Vậy \( \int\limits_{0}^{2}{x{f}'(x)dx}=\left. xf(x) \right|_{0}^{2}-\int\limits_{0}^{2}{f(x)dx}=2f(2)-\int\limits_{0}^{2}{f(x)dx}=2.(-1)-\frac{4}{3}=-\frac{10}{3} \).
Cách 2:
Từ \( \left\{ \begin{align} & f(x)+f(2-x)={{x}^{2}}-2x+2\begin{matrix} {} & (1) \\\end{matrix} \\ & f(0)=3 \\ \end{align} \right. \).
Thay \( x=0;\text{ }x=1 \) vào (1) ta được: \( f(2)=-1;\text{ }f(1)=\frac{1}{2} \).
Xét hàm số \( f(x)=a{{x}^{2}}+bx+c \) từ giả thiết trên ta có: \( \left\{ \begin{align} & c=3 \\ & a+b+c=\frac{1}{2} \\ & 4a+2b+c=-1 \\ \end{align} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & c=3 \\ & a=\frac{1}{2} \\ & b=-3 \\ \end{align} \right. \).
Do đó: \( f(x)=\frac{1}{2}{{x}^{2}}-3x+3\Rightarrow {f}'(x)=x-3 \).
Suy ra: \(\int\limits_{0}^{2}{x{f}'(x)dx}=\int\limits_{0}^{2}{x(x-3)dx}=-\frac{10}{3}\).
Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Môn Toán từ lớp 6 ➜ 12 - Ôn thi Đại Học - Cao Đẳng
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
- Học phí giá rẻ - bình dân!
- Đóng 3 tháng tặng 1 tháng
No comment yet, add your voice below!