Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên \( \left[ 0;2 \right] \) và thỏa \( f(1)=0 \), \( {{\left( {f}'(x) \right)}^{2}}+4f(x)=8{{x}^{2}}-32x+28 \) với \( \forall x\in \left[ 0;2 \right] \). Giá trị của  \( \int\limits_{0}^{1}{f(x)dx} \) bằng

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Xét  \( I=\int\limits_{1}^{2}{2f(x)dx} \).

Đặt  \( \left\{ \begin{align}  & u=f(x)\Rightarrow du={f}'(x)dx \\  & dv=2dx\Rightarrow v=2x-4 \\ \end{align} \right. \).

 \( I=\left. (2x-4)f(x) \right|_{1}^{2}-\int\limits_{1}^{2}{(2x-4){f}'(x)dx}=-\int\limits_{1}^{2}{(2x-4){f}'(x)dx} \).

Ta có:  \( {{\left( {f}'(x) \right)}^{2}}+4f(x)=8{{x}^{2}}-32x+28\Rightarrow \int\limits_{1}^{2}{{{\left( {f}'(x) \right)}^{2}}dx}+2\int\limits_{1}^{2}{2f(x)dx}=\int\limits_{1}^{2}{(8{{x}^{2}}-32x+28)dx} \)

 \( \Leftrightarrow \int\limits_{1}^{2}{{{\left( {f}'(x) \right)}^{2}}dx}-2\int\limits_{1}^{2}{(2x-4){f}'(x)dx}+\int\limits_{1}^{2}{{{(2x-4)}^{2}}dx}=\int\limits_{1}^{2}{(8{{x}^{2}}-32x+28)dx}+\int\limits_{1}^{2}{{{(2x-4)}^{2}}dx} \)

 \( \Leftrightarrow \int\limits_{1}^{2}{{{\left[ {f}'(x)-(2x-4) \right]}^{2}}dx}=0\Leftrightarrow {f}'(x)-(2x-4)=0 \)

 \( \Leftrightarrow {f}'(x)=2x-4\Rightarrow f(x)={{x}^{2}}-4x+C,\text{ }C\in \mathbb{R} \).

Mà  \( f(1)=0\Rightarrow C=3\Rightarrow f(x)={{x}^{2}}-4x+3\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}=\int\limits_{0}^{1}{({{x}^{2}}-4x+3)dx}=\frac{4}{3} \).