Cho hàm số f(x) liên tục trên \( \left[ \frac{2}{5};1 \right] \) và thỏa mãn \( 2f(x)+5f\left( \frac{2}{5x} \right)=3x,\text{ }\forall x\in \left[ \frac{2}{5};1 \right] \). Khi đó \( I=\int\limits_{\frac{2}{15}}^{\frac{1}{3}}{\ln 3x.{f}'(3x)dx} \) bằng

Cho hàm số f(x) liên tục trên \( \left[ \frac{2}{5};1 \right] \) và thỏa mãn  \( 2f(x)+5f\left( \frac{2}{5x} \right)=3x,\text{ }\forall x\in \left[ \frac{2}{5};1 \right] \). Khi đó  \( I=\int\limits_{\frac{2}{15}}^{\frac{1}{3}}{\ln 3x.{f}'(3x)dx} \) bằng:

A. \( \frac{1}{5}\ln \frac{2}{5}+\frac{3}{35} \)

B.  \( \frac{1}{5}\ln \frac{5}{2}-\frac{3}{35} \)                 

C.  \( -\frac{1}{5}\ln \frac{5}{2}-\frac{3}{35} \)      

D.  \( -\frac{1}{5}\ln \frac{2}{5}+\frac{3}{35} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Ta có:  \( 2f(x)+5f\left( \frac{2}{5x} \right)=3x,\text{ }\forall x\in \left[ \frac{2}{5};1 \right] \)

 \( \Leftrightarrow 2\frac{f(x)}{x}+5\frac{f\left( \frac{2}{5x} \right)}{x}=3\Rightarrow 2\int\limits_{\frac{2}{5}}^{1}{\frac{f(x)}{x}dx}+5\int\limits_{\frac{2}{5}}^{1}{\frac{f\left( \frac{2}{5x} \right)}{x}dx}=\int\limits_{\frac{2}{5}}^{1}{3dx}=\frac{9}{5} \)  (*).

+ Xét \({{I}_{1}}=5\int\limits_{\frac{2}{5}}^{1}{\frac{f\left( \frac{2}{5x} \right)}{x}dx}\).

Đặt  \( t=\frac{2}{5x}\Rightarrow \left\{ \begin{align}  & x=\frac{2}{5t} \\ & {{t}^{2}}=\frac{4}{25{{x}^{2}}}\Rightarrow \frac{25}{4}{{t}^{2}}=\frac{1}{{{x}^{2}}} \\  & dt=-\frac{2}{5{{x}^{2}}}dx=-\frac{2}{5}.\frac{25}{4}{{t}^{2}}dx\Rightarrow -\frac{2}{5}\frac{dt}{{{t}^{2}}}=dx \\ \end{align} \right. \).

Đổi cận:  \( \left\{ \begin{align}  & x=\frac{2}{5}\Rightarrow t=1 \\  & x=1\Rightarrow t=\frac{2}{5} \\ \end{align} \right. \).

Khi đó: \({{I}_{1}}=5\int\limits_{\frac{2}{5}}^{1}{\frac{f\left( \frac{2}{5x} \right)}{x}dx}=5\int\limits_{1}^{\frac{2}{5}}{\frac{f(t)}{\frac{2}{5t}}.\left( -\frac{2}{5}\frac{dt}{{{t}^{2}}} \right)}=5\int\limits_{\frac{2}{5}}^{1}{\frac{f(t)}{t}dt}=5\int\limits_{\frac{2}{5}}^{1}{\frac{f(x)}{x}dx}\).

Từ (*) suy ra:  \( 2\int\limits_{\frac{2}{5}}^{1}{\frac{f(x)}{x}dx}+5\int\limits_{\frac{2}{5}}^{1}{\frac{f(x)}{x}dx}=\frac{9}{5}\Leftrightarrow \int\limits_{\frac{2}{5}}^{1}{\frac{f(x)}{x}dx}=\frac{9}{35} \).

+ Xét  \( I=\int\limits_{\frac{2}{15}}^{\frac{1}{3}}{\ln 3x.{f}'(3x)dx} \).

Đặt  \( t=3x\Rightarrow dt=3dx\Rightarrow dx=\frac{1}{3}dt  \).

Đổi cận:  \( \left\{ \begin{align} & x=\frac{2}{15}\Rightarrow t=\frac{2}{5} \\  & x=\frac{1}{3}\Rightarrow t=1 \\ \end{align} \right. \).

 \( \Rightarrow I=\frac{1}{3}\int\limits_{\frac{2}{5}}^{1}{\ln t.{f}'(t)dt} \).

Đặt:  \( \left\{ \begin{align}  & u=\ln t\Rightarrow du=\frac{1}{t}dt \\  & dv={f}'(t)dt\Rightarrow v=f(t) \\ \end{align} \right. \).

 \( I=\left. \frac{1}{3}\ln t.f(t) \right|_{\frac{2}{5}}^{1}-\frac{1}{3}\int\limits_{\frac{2}{5}}^{1}{\frac{f(t)}{t}dt}=-\frac{1}{3}\ln \frac{2}{5}.f\left( \frac{2}{5} \right)-\frac{3}{35} \).

+ Xét  \( 2f(x)+5f\left( \frac{2}{5x} \right)=3x,\text{ }\forall x\in \left[ \frac{2}{5};1 \right] \).

Thay  \( x=1;\text{ }x=\frac{2}{5} \) vào biểu thức trên, ta được hệ phương trình sau:

 \( \left\{ \begin{align}  & 2f(1)+5f\left( \frac{2}{5} \right)=3 \\  & 2f\left( \frac{2}{5} \right)+5f(1)=\frac{6}{5} \\ \end{align} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & f(1)=0 \\  & f\left( \frac{2}{5} \right)=\frac{3}{5} \\ \end{align} \right. \) .

Suy ra:  \( I=-\frac{1}{3}\ln \frac{2}{5}.\frac{3}{5}-\frac{3}{35}=\frac{1}{5}\ln \frac{5}{2}-\frac{3}{35} \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Các bài toán liên quan

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Recommended Posts

No comment yet, add your voice below!


Add a Comment

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *