Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn \( [0;1] \) thỏa mãn \( f(1)=1 \) và \( {{\left( {f}'(x) \right)}^{2}}+4(6{{x}^{2}}-1)f(x)=40{{x}^{6}}-44{{x}^{4}}+32{{x}^{2}}-4,\text{ }\forall x\in [0;1] \). Tích phân \( \int\limits_{0}^{1}{f(x)dx} \) bằng

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Ta có:  \( {{\left( {f}'(x) \right)}^{2}}+4(6{{x}^{2}}-1)f(x)=40{{x}^{6}}-44{{x}^{4}}+32{{x}^{2}}-4,\text{ }\forall x\in [0;1] \)

 \( \Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{{{\left( {f}'(x) \right)}^{2}}dx}+\int\limits_{0}^{1}{4(6{{x}^{2}}-1)f(x)dx}=\int\limits_{0}^{1}{(40{{x}^{6}}-44{{x}^{4}}+32{{x}^{2}}-4)dx} \)   (1)

+ Xét  \( I=\int\limits_{0}^{1}{4(6{{x}^{2}}-1)f(x)dx}=\int\limits_{0}^{1}{(24{{x}^{2}}-4)f(x)dx} \).

Đặt:  \( \left\{ \begin{align}  & u=f(x)\Rightarrow du={f}'(x)dx \\  & dv=(24{{x}^{2}}-4)dx\Rightarrow v=8{{x}^{3}}-4x \\ \end{align} \right. \).

Khi đó:  \( I=\left. \left( 8{{x}^{3}}-4x \right)f(x) \right|_{0}^{1}-\int\limits_{0}^{1}{\left( 8{{x}^{3}}-4x \right){f}'(x)dx}=4-2\int\limits_{0}^{1}{\left( 4{{x}^{3}}-2x \right){f}'(x)dx} \)

Do đó:

(1)  \( \Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{{{\left( {f}'(x) \right)}^{2}}dx}+4-2\int\limits_{0}^{1}{(4{{x}^{3}}-2x){f}'(x)dx}=\int\limits_{0}^{1}{(40{{x}^{6}}-44{{x}^{2}}+32{{x}^{2}}-4)dx} \)

\(\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{{{\left( {f}'(x) \right)}^{2}}dx}-2\int\limits_{0}^{1}{(4{{x}^{3}}-2x){f}'(x)dx}+\int\limits_{0}^{1}{{{\left( 4{{x}^{3}}-2x \right)}^{2}}dx}=\int\limits_{0}^{1}{(56{{x}^{6}}-6{{x}^{4}}+32{{x}^{2}}-8)dx}\)

\(\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{{{\left( {f}'(x)-(4{{x}^{3}}-2x) \right)}^{2}}dx}=0\Leftrightarrow {f}'(x)-(4{{x}^{3}}-2x)=0\)

\(\Leftrightarrow {f}'(x)=4{{x}^{3}}-2x\Rightarrow f(x)={{x}^{4}}-{{x}^{2}}+C\).

Mà  \( f(1)=1\Rightarrow C=1\Rightarrow f(x)={{x}^{4}}-{{x}^{2}}+1 \).

Do đó:  \( \int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}=\int\limits_{0}^{1}{({{x}^{4}}-{{x}^{2}}+1)dx}=\frac{13}{15} \).