Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn \( [0;1] \) thỏa mãn \( f(1)=1 \) và \( {{\left( {f}'(x) \right)}^{2}}+4(6{{x}^{2}}-1)f(x)=40{{x}^{6}}-44{{x}^{4}}+32{{x}^{2}}-4,\text{ }\forall x\in [0;1] \). Tích phân \( \int\limits_{0}^{1}{f(x)dx} \) bằng
A. \( \frac{23}{15} \)
B. \( \frac{13}{15} \)
C. \( -\frac{17}{15} \)
D. \( -\frac{7}{15} \)
Hướng dẫn giải:
Đáp án B.
Ta có: \( {{\left( {f}'(x) \right)}^{2}}+4(6{{x}^{2}}-1)f(x)=40{{x}^{6}}-44{{x}^{4}}+32{{x}^{2}}-4,\text{ }\forall x\in [0;1] \)
\( \Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{{{\left( {f}'(x) \right)}^{2}}dx}+\int\limits_{0}^{1}{4(6{{x}^{2}}-1)f(x)dx}=\int\limits_{0}^{1}{(40{{x}^{6}}-44{{x}^{4}}+32{{x}^{2}}-4)dx} \) (1)
+ Xét \( I=\int\limits_{0}^{1}{4(6{{x}^{2}}-1)f(x)dx}=\int\limits_{0}^{1}{(24{{x}^{2}}-4)f(x)dx} \).
Đặt: \( \left\{ \begin{align} & u=f(x)\Rightarrow du={f}'(x)dx \\ & dv=(24{{x}^{2}}-4)dx\Rightarrow v=8{{x}^{3}}-4x \\ \end{align} \right. \).
Khi đó: \( I=\left. \left( 8{{x}^{3}}-4x \right)f(x) \right|_{0}^{1}-\int\limits_{0}^{1}{\left( 8{{x}^{3}}-4x \right){f}'(x)dx}=4-2\int\limits_{0}^{1}{\left( 4{{x}^{3}}-2x \right){f}'(x)dx} \)
Do đó:
(1) \( \Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{{{\left( {f}'(x) \right)}^{2}}dx}+4-2\int\limits_{0}^{1}{(4{{x}^{3}}-2x){f}'(x)dx}=\int\limits_{0}^{1}{(40{{x}^{6}}-44{{x}^{2}}+32{{x}^{2}}-4)dx} \)
\(\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{{{\left( {f}'(x) \right)}^{2}}dx}-2\int\limits_{0}^{1}{(4{{x}^{3}}-2x){f}'(x)dx}+\int\limits_{0}^{1}{{{\left( 4{{x}^{3}}-2x \right)}^{2}}dx}=\int\limits_{0}^{1}{(56{{x}^{6}}-6{{x}^{4}}+32{{x}^{2}}-8)dx}\)
\(\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{{{\left( {f}'(x)-(4{{x}^{3}}-2x) \right)}^{2}}dx}=0\Leftrightarrow {f}'(x)-(4{{x}^{3}}-2x)=0\)
\(\Leftrightarrow {f}'(x)=4{{x}^{3}}-2x\Rightarrow f(x)={{x}^{4}}-{{x}^{2}}+C\).
Mà \( f(1)=1\Rightarrow C=1\Rightarrow f(x)={{x}^{4}}-{{x}^{2}}+1 \).
Do đó: \( \int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}=\int\limits_{0}^{1}{({{x}^{4}}-{{x}^{2}}+1)dx}=\frac{13}{15} \).
Các bài toán liên quan
Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!
Các bài toán mới!
Hệ Thống Trung Tâm Nhân Tài Việt!
- Nhận dạy kèm môn phổ thông: Toán học, Vật lý, Hóa học, Tiếng Anh các lớp 10, 11, 12, LTDH
- Cơ sở 1: Khu đô thị Garden, Thị trấn Đức Tài, Huyện Đức Linh, Tỉnh Bình Thuận
- Cơ sở 2: Số 103/6, Hẻm 528TC, Đường Trường Chinh, Kp. 7, P. Tân Hưng Thuận, Quận 12, Tp. HCM
- Cơ sở 3: số 33/66, hẻm 33, đường số 5, P. Bình Hưng Hòa, Quận Tân Bình, Tp. HCM
- Hotline: 094.625.1920 - Thầy Nhân (Zalo)
- Với đội ngũ gia sư dạy kèm gồm giáo viên và sinh viên ở các trường uy tín nhất, chúng tôi nhận dạy kèm tại nhà và dạy kèm online 1 kèm 1.
- Nhận dạy kèm môn phổ thông: Toán học, Vật lý, Hóa học, Tiếng Anh, Sinh học, Văn học, … các lớp 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, LTDH và các môn ĐH–CĐ: Toán cao cấp, Xác suất thống kê...
- Nhận dạy kèm Tiếng Anh (Giao tiếp, TOEIC, TOEFL, IELTS, ...) - Tiếng Hoa - Tiếng Hàn - Tiếng Nhật (Giao tiếp, chứng chỉ N5, N4, N3, N2, N1), Tin Học (Văn phòng, Đồ họa, Lập trình,...) cho các học viên ở mọi lứa tuổi.
- Nhận dạy kèm các môn năng khiếu: Cờ Vua, Cờ Tướng, Đàn Ghitar, Đàn Dương Cầm,…
- Đ/C Trung Tâm: Số 103/6, Hẻm 528TC, Đường Trường Chinh, Kp. 7, P. Tân Hưng Thuận, Quận 12, Tp. HCM
- Hotline: 094.625.1920 - Thầy Nhân (Zalo)
No comment yet, add your voice below!