Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R và chiều cao bằng 3R/2. Mặt phẳng (α) song song với trục của hình trụ và cách trục một khoảng bằng

Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R và chiều cao bằng \( \frac{3R}{2} \). Mặt phẳng  \( (\alpha ) \) song song với trục của hình trụ và cách trục một khoảng bằng  \( \frac{R}{2} \). Diện tích thiết diện của hình trụ cắt bởi mặt phẳng  \( (\alpha ) \) là:

A. \( \frac{3\sqrt{2}{{R}^{2}}}{2} \).

B.  \( \frac{3\sqrt{3}{{R}^{2}}}{2} \).                             

C.  \( \frac{2\sqrt{3}{{R}^{2}}}{3} \).                             

D.  \( \frac{2\sqrt{2}{{R}^{2}}}{3} \).

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Giả sử thiết diện là hình chữ nhật ABCD như hình vẽ.

Gọi H là trung điểm của BC suy ra  \( OH\bot BC \) suy ra  \( d\left( O,BC \right)=\frac{R}{2} \).

Khi đó  \( BC=2HB=2\sqrt{O{{B}^{2}}-O{{H}^{2}}}=2\sqrt{{{R}^{2}}-{{\left( \frac{R}{2} \right)}^{2}}}=R\sqrt{3} \).

Suy ra  \( {{S}_{ABCD}}=BC.AB=R\sqrt{3}.\frac{3R}{2}=\frac{3\sqrt{3}{{R}^{2}}}{2} \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông cạnh a và cạnh bên bằng 2a. Tính diện tích xung quanh Sxq của hình nón có đỉnh là tâm O của hình vuông A’B’C’D’

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông cạnh a và cạnh bên bằng 2a. Tính diện tích xung quanh \( {{S}_{xq}} \) của hình nón có đỉnh là tâm O của hình vuông A’B’C’D’ và đáy là hình tròn nội tiếp hình vuông ABCD.

A. \( {{S}_{xq}}=\pi {{a}^{2}}\sqrt{17} \).

B.  \( {{S}_{xq}}=\frac{\pi {{a}^{2}}\sqrt{17}}{2} \).                                      

C.  \( {{S}_{xq}}=\frac{\pi {{a}^{2}}\sqrt{17}}{4} \).                                      

D.  \( {{S}_{xq}}=2\pi {{a}^{2}}\sqrt{17} \).

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Bán kính đáy của hình nón:  \( R=\frac{a}{2} \).

Đường sinh của hình nón:  \( \ell =OM\Leftrightarrow \ell =\sqrt{M{{I}^{2}}+O{{I}^{2}}}\Leftrightarrow \ell =\sqrt{{{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}+4{{a}^{2}}}=\frac{a\sqrt{17}}{2} \).

Đường thẳng xung quanh của hình nón là  \( S=\pi .R.\ell =\pi .\frac{a}{2}.\frac{a\sqrt{17}}{2}=\frac{\pi {{a}^{2}}\sqrt{17}}{4} \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Cho hình nón đỉnh S, đáy là hình tròn nội tiếp tam giác ABC. Biết rằng AB=BC=10a, AC=12a, góc tạo bởi hai mặt phẳng (SAB) và (ABC) bằng 45∘

Cho hình nón đỉnh S, đáy là hình tròn nội tiếp tam giác ABC. Biết rằng \( AB=BC=10a \),  \( AC=12a \), góc tạo bởi hai mặt phẳng (SAB) và (ABC) bằng  \( 45{}^\circ  \). Tính thể tích V của khối nón đã cho.

A. \( V=3\pi {{a}^{3}} \).

B.  \( V=9\pi {{a}^{3}} \). 

C.  \( V=27\pi {{a}^{3}} \).   

D.  \( V=12\pi {{a}^{3}} \).

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Dựng  \( IK\bot AB \), suy ra  \( \left( (SAB),(ABC) \right)=\widehat{SKI}=45{}^\circ \) .

Xét  \( \Delta ABC \), ta có:  \( p=\frac{AB+BC+AC}{2}=\frac{10a+10a+12a}{2}=16a \).

Suy ra:  \( {{S}_{\Delta ABC}}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{16a.6a.6a.4a}=48{{a}^{2}} \).

Bán kính đường tròn nội tiếp là  \( r=\frac{S}{p}=\frac{48{{a}^{2}}}{16a}=3a \).

Xét  \( \Delta SIK \) có  \( SI=IK=r=3a \).

Thể tích khối nón là:  \( V=\frac{1}{3}h.\pi {{r}^{2}}=\frac{1}{3}.3a.\pi .{{(3a)}^{2}}=9\pi {{a}^{3}} \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh AB=a, góc tạo bởi (SAB) và (ABC) bằng 60∘ . Diện tích xung quanh của hình nón đỉnh S

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh \( AB=a \), góc tạo bởi (SAB) và (ABC) bằng  \( 60{}^\circ \) . Diện tích xung quanh của hình nón đỉnh S và có đường tròn đáy ngoại tiếp tam giác ABC bằng

A. \( \frac{\sqrt{7}\pi {{a}^{2}}}{3} \).

B.  \( \frac{\sqrt{7}\pi {{a}^{2}}}{6} \).           

C.  \( \frac{\sqrt{3}\pi {{a}^{2}}}{2} \).                 

D.  \( \frac{\sqrt{3}\pi {{a}^{2}}}{6} \).

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Gọi M là trung điểm AB và gọi O là tâm của tam giác ABC ta có:

 \( \left\{ \begin{align}  & AB\bot CM \\  & AB\bot SO \\ \end{align} \right.\Rightarrow AB\bot (SCM)\Rightarrow AB\bot SM,\,\,AB\bot CM \).

Do đó  \( \left( (SAB),(ABC) \right)=\widehat{SMO}=60{}^\circ \) .

Mặt khác, tam giác ABC đều cạnh a nên  \( CM=\frac{a\sqrt{3}}{2} \). Suy ra  \( OM=\frac{1}{3}CM=\frac{a\sqrt{3}}{6} \).

 \( SO=OM.\tan 60{}^\circ =\frac{a\sqrt{3}}{6}.\sqrt{3}=\frac{a}{2} \).

Hình nón đã cho có chiều cao  \( h=SO=\frac{a}{2} \), bán kính đáy  \( R=OA=\frac{a\sqrt{3}}{3} \), độ dài đường sinh  \( \ell =\sqrt{{{h}^{2}}+{{R}^{2}}}=\frac{a\sqrt{21}}{6} \).

Diện tích xung quanh hình nón là:  \( {{S}_{xq}}=\pi .R.\ell =\pi .\frac{a\sqrt{3}}{3}.\frac{a\sqrt{21}}{6}=\frac{\sqrt{7}\pi {{a}^{2}}}{6} \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a. Một khối nón có đỉnh là tâm của hình vuông ABCD và đáy là hình tròn nội tiếp hình vuông A’B’C’D’. Kết quả tính diện tích toàn phần Stp của khối nón đó có dạng bằng

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a. Một khối nón có đỉnh là tâm của hình vuông ABCD và đáy là hình tròn nội tiếp hình vuông A’B’C’D’. Kết quả tính diện tích toàn phần \( {{S}_{tp}} \) của khối nón đó có dạng bằng  \( \frac{\pi {{a}^{2}}}{4}\left( \sqrt{b}+c \right) \) với b và c là hai số nguyên dương và  \( b>1 \). Tính  \( bc \).

A. \( bc=5 \).

B.  \( bc=8 \).                   

C.  \( bc=15 \).                 

D.  \( bc=7 \).

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Ta có bán kính hình nón  \( r=\frac{a}{2} \), đường cao  \( h=a \), đường sinh  \( \ell =\frac{a\sqrt{5}}{2} \).

Diện tích toàn phần  \( {{S}_{tp}}=\pi r\ell +\pi {{r}^{2}}=\pi \frac{{{a}^{2}}\sqrt{5}}{4}+\pi \frac{{{a}^{2}}}{4}=\frac{\pi {{a}^{2}}}{4}\left( \sqrt{5}+1 \right)\Rightarrow b=5,\,\,c=1 \).

Vậy  \( bc=5 \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Tam giác SAB có diện tích bằng 2a2. Thể tích của khối nón có đỉnh S

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Tam giác SAB có diện tích bằng \( 2{{a}^{2}} \). Thể tích của khối nón có đỉnh S và đường tròn đáy nội tiếp tứ giác ABCD.

A. \( \frac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{7}}{8} \).

B.  \( \frac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{7}}{7} \).                                         

C.  \( \frac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{7}}{4} \).                                         

D.  \( \frac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{15}}{24} \).

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Gọi  \( O=AC\cap BD \) và M là trung điểm AB. Hình nón có đỉnh S và đường tròn đáy nội tiếp tứ giác ABCD có bán kính đáy là  \( R=OM=\frac{a}{2} \) và có chiều cao là  \( h=SO \).

Thể tích khối nón  \( V=\frac{1}{3}B.h \) trong đó  \( B=\pi {{R}^{2}}=\frac{\pi {{a}^{2}}}{4} \).

Diện tích tam giác SAB là  \( 2{{a}^{2}} \) nên \(\frac{\text{1}}{\text{2}}SM.AB=2{{a}^{2}}\Leftrightarrow SM=4a\).

Trong tam giác vuông SOM, ta có  \( SO=\sqrt{S{{M}^{2}}-O{{M}^{2}}}=\sqrt{16{{a}^{2}}-\frac{{{a}^{2}}}{4}}=\frac{3a\sqrt{7}}{2}=h \).

Vậy thể tích của khối nón là  \( V=\frac{\pi {{a}^{3}}\sqrt{7}}{8} \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, cạnh bên tạo với đáy góc 45∘

Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, cạnh bên tạo với đáy góc \( 45{}^\circ  \). Thể tích khối nón ngoại tiếp hình chóp trên là:

A. \( \frac{8\sqrt{3}}{3}\pi {{a}^{3}} \).

B.  \( \frac{2\sqrt{3}}{3}\pi {{a}^{3}} \).                   

C.  \( 2\sqrt{2}\pi {{a}^{3}} \).                                

D.  \( \frac{2}{3}\pi {{a}^{3}} \).

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Ta có S.ABCD là hình chóp đều, gọi  \( O=AC\cap BD \).

 \( \Rightarrow \)  Góc giữa cạnh bên với mặt đáy là  \( \widehat{SBO}=45{}^\circ \) .

ABCD là hình vuông cạnh 2a  \( \Rightarrow BD=2\sqrt{2}a \).

Khối nón ngoại tiếp hình chóp S.ABCD có bán kính đường tròn đáy  \( R=\frac{BD}{2}=a\sqrt{2} \).

 \( \Delta SOB \) vuông cân tại O.

 \( \Rightarrow  \) Chiều cao khối nón  \( h=SO=OB=\sqrt{2}a \).

 \( \Rightarrow \)  Thể tích khối nón là:  \( V=\frac{1}{3}\pi {{R}^{2}}h=\frac{1}{3}\pi {{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}.a\sqrt{2}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\pi {{a}^{3}} \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh đáy là a và (N) là hình nón có đỉnh là S với đáy là đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh đáy là a và (N) là hình nón có đỉnh là S với đáy là đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD. Tỉ số thể tích của khối chóp S.ABCD và khối nón (N) là:

A. \( \frac{\pi }{4} \).

B.  \( \frac{\pi \sqrt{2}}{2} \).   

C.  \( \frac{2}{\pi } \).      

D.  \( \frac{2\sqrt{2}}{\pi } \).

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Gọi h là chiều cao của khối chóp và đồng thời là đường cao của khối nón.

Thể tích của khối chóp là  \( {{V}_{1}}=\frac{1}{3}{{a}^{2}}h \).

Bán kính của đường tròn ngoại tiếp đáy ABCD là  \( r=\frac{AC}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2} \).

Thể tích của khối nón là  \( {{V}_{2}}=\frac{1}{3}\pi .\frac{{{a}^{2}}}{2}.h \).

Tỉ số thể tích của khối chóp S.ABCD và khối nón (N) là  \( \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{2}{\pi } \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60∘. Tính diện tích xung quanh của hình nón đỉnh S, đáy là hình tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng \( 60{}^\circ \) . Tính diện tích xung quanh của hình nón đỉnh S, đáy là hình tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

A. \( \frac{\pi {{a}^{2}}\sqrt{3}}{3} \).

B.  \( \frac{\pi {{a}^{2}}\sqrt{7}}{6} \).                                  

C.  \( \frac{\pi {{a}^{2}}\sqrt{7}}{4} \).                                         

D.  \( \frac{\pi {{a}^{2}}\sqrt{10}}{8} \).

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Gọi E là trung điểm BC. Theo giả thiết  \( \widehat{SEA}=60{}^\circ  \).

Suy ra \( : SA=\frac{a\sqrt{7}}{2\sqrt{3}}=\ell \) .

 \( {{S}_{xq}}=\pi R\ell =\pi .\frac{a\sqrt{3}}{3}.\frac{a\sqrt{7}}{2\sqrt{3}}=\frac{\pi {{a}^{2}}\sqrt{7}}{6} \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Cho hình nón (N) có đường sinh tạo với đáy một góc 60∘ . Mặt phẳng qua trục của (N) cắt (N) được thiết diện là một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1

(THPTQG – 2017 – 105) Cho hình nón (N) có đường sinh tạo với đáy một góc \( 60{}^\circ \) . Mặt phẳng qua trục của (N) cắt (N) được thiết diện là một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1. Tính thể tích V của khối nón giới hạn bởi (N).

A. \( V=9\pi \).               

B.  \( V=3\sqrt{3}\pi  \).  

C.  \( V=9\sqrt{3}\pi  \).  

D.  \( V=3\pi  \).

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Hình nón (N) có đường sinh tạo với đáy một góc  \( 60{}^\circ \)  nên  \( \widehat{SAH}=60{}^\circ \) .

Ta có  \( \Delta SAB \) cân tại S có  \( \widehat{A}=60{}^\circ \)  nên  \( \Delta SAB \) đều. Do đó tâm I của đường tròn nội tiếp  \( \Delta SAB \) cũng là trọng tâm của  \( \Delta SAB \).

Suy ra  \( SH=3IH=3 \).

Mặt khác  \( SH=\frac{AB\sqrt{3}}{2}\Rightarrow AB=2\sqrt{3}\Rightarrow R=\sqrt{3}\Rightarrow {{S}_{\text{}}}=\pi {{R}^{2}}=3\pi  \).

Do đó:  \( V=\frac{1}{3}SH.{{S}_{\text{}}}=\frac{1}{3}.3.3\pi =3\pi \) .

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60∘ . Tính diện tích xung quanh của hình nón đỉnh S, đáy là hình tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng \( 60{}^\circ \) . Tính diện tích xung quanh của hình nón đỉnh S, đáy là hình tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

A. \( \frac{\pi {{a}^{2}}\sqrt{3}}{3} \).

B.  \( \frac{\pi {{a}^{2}}\sqrt{7}}{6} \).                                         

C.  \( \frac{\pi {{a}^{2}}\sqrt{7}}{4} \).                                         

D.  \( \frac{\pi {{a}^{2}}\sqrt{10}}{8} \).

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, M là trung điểm cạnh BC, ta có:  \( OM=\frac{a\sqrt{3}}{6},\,\,OA=\frac{a\sqrt{3}}{3} \) và  \( \widehat{SMO}=60{}^\circ \) .

Trong tam giác vuông SMO, ta có:  \( SO=OM.\tan 60{}^\circ =\frac{a\sqrt{3}}{6}.\sqrt{3}=\frac{a}{2}\Rightarrow SA=\sqrt{\frac{{{a}^{2}}}{4}+\frac{{{a}^{2}}}{3}}=\frac{a\sqrt{7}}{2\sqrt{3}} \).

Vậy  \( {{S}_{xq}}=\pi .OA.SA=\pi .\frac{a\sqrt{3}}{3}.\frac{a\sqrt{7}}{2\sqrt{3}}=\frac{\pi {{a}^{2}}\sqrt{7}}{6} \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a. Một khối nón có đỉnh là tâm của hình vuông ABCD và đáy là hình tròn nôi tiếp hình vuông A′B′C′D′

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a. Một khối nón có đỉnh là tâm của hình vuông ABCD và đáy là hình tròn nôi tiếp hình vuông \( A’B’C’D’ \). Diện tích toàn phần của khối nón đó là:

A. \( {{S}_{tp}}=\frac{\pi {{a}^{2}}}{2}\left( \sqrt{3}+2 \right) \).

B.  \( {{S}_{tp}}=\frac{\pi {{a}^{2}}}{4}\left( \sqrt{5}+1 \right) \).                       

C.  \( {{S}_{tp}}=\frac{\pi {{a}^{2}}}{4}\left( \sqrt{5}+2 \right) \).                       

D.  \( {{S}_{tp}}=\frac{\pi {{a}^{2}}}{2}\left( \sqrt{3}+1 \right) \).

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Bán kính của đường tròn đáy là  \( r=\frac{a}{2} \).

Diện tích đáy nón là:  \( {{S}_{1}}=\pi {{r}^{2}}=\frac{\pi {{a}^{2}}}{4} \).

Độ dài đường sinh là:  \( \ell =\sqrt{{{a}^{2}}+{{r}^{2}}}=\frac{a\sqrt{5}}{2} \).

Diện tích xung quanh của khối nón là:  \( {{S}_{2}}=\pi r\ell =\frac{\pi {{a}^{2}}\sqrt{5}}{4} \).

Vậy, diện tích toàn phần của khối nón đó là:  \( {{S}_{tp}}={{S}_{1}}+{{S}_{2}}=\frac{\pi {{a}^{2}}}{4}\left( \sqrt{5}+1 \right) \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và đáy bằng 60∘. Diện tích xung quanh của hình nón đỉnh S

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và đáy bằng \( 60{}^\circ  \). Diện tích xung quanh của hình nón đỉnh S, có đáy là hình tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng

A. \( \frac{\pi {{a}^{2}}\sqrt{10}}{8} \).

B.  \( \frac{\pi {{a}^{2}}\sqrt{3}}{3} \).                                         

C.  \( \frac{\pi {{a}^{2}}\sqrt{7}}{4} \).                                         

D.  \( \frac{\pi {{a}^{2}}\sqrt{7}}{6} \).

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Gọi I là tâm đường tròn (ABC)  \( \Rightarrow IA=r=\frac{a\sqrt{3}}{3} \).

Gọi M là trung điểm của AB \( \Rightarrow AB\bot (SMC) \).

 \( \Rightarrow \) Góc giữa mặt bên và mặt đáy là góc  \( \widehat{SMC}=60{}^\circ \)  \( \Rightarrow SM=2IM=\frac{2a\sqrt{3}}{6}=\frac{a\sqrt{3}}{3} \).

 \( \Rightarrow SA=\sqrt{S{{M}^{2}}+M{{A}^{2}}}=\sqrt{\frac{{{a}^{2}}}{3}+\frac{{{a}^{2}}}{4}}=\frac{a\sqrt{21}}{6} \).

Diện tích xung quanh hình nón  \( {{S}_{xq}}=\pi r\ell =\pi .\frac{a\sqrt{3}}{3}.\frac{a\sqrt{21}}{6}=\frac{\pi {{a}^{2}}\sqrt{7}}{6} \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC. Hình nón có đỉnh S và có đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tam giác ABC gọi là hình nón nội tiếp hình chóp S.ABC

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC. Hình nón có đỉnh S và có đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tam giác ABC gọi là hình nón nội tiếp hình chóp S.ABC, hình nón có đỉnh S và có đường tròn đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC gọi là hình nón ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Tỉ số thể tích của hình nón nội tiếp và hình nón ngoại tiếp hình chóp đã cho là:

A. \( \frac{1}{2} \).

B.  \( \frac{1}{4} \).                   

C.  \( \frac{2}{3} \).         

D.  \( \frac{1}{3} \).

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Gọi M là trung điểm của BC.

Gọi O là trọng tâm của tam giác ABC.

Ta có:  \( SO\bot (ABC) \) tại O. Suy ra, O là tâm đường tròn nội tiếp và cũng là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Gọi a là độ dài cạnh của tam giác aBC.

Gọi  \( {{V}_{1}},\,\,{{V}_{2}} \) lần lượt là thể tích của hình nón nội tiếp và hình nón ngoại tiếp hình chóp S.ABC.

Do  \( OM=\frac{1}{2}OA \) nên ta có:

 \( \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{\frac{1}{3}.\pi .O{{M}^{2}}.SO}{\frac{1}{3}.\pi .O{{A}^{2}}.SO}=\frac{O{{M}^{2}}}{O{{A}^{2}}}={{\left( \frac{OM}{OA} \right)}^{2}}=\frac{1}{4} \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 3a. Hình nón (N) có đỉnh A có đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Tính diện tích xung quanh Sxq của (N)

(THPTQG – 110 – 2017) Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 3a. Hình nón (N) có đỉnh A có đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Tính diện tích xung quanh \( {{S}_{xq}} \) của (N).

A. \( {{S}_{xq}}=12\pi {{a}^{2}} \).

B.  \( {{S}_{xq}}=6\pi {{a}^{2}} \).          

C.  \( {{S}_{xq}}=3\sqrt{3}\pi {{a}^{2}} \).                                      

D.  \( {{S}_{xq}}=16\sqrt{3}\pi {{a}^{2}} \).

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Gọi r là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD.

Ta có:  \( BM=\frac{3a\sqrt{3}}{2};\,\,r=\frac{2}{3}BM=\frac{2}{3}.\frac{3a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3} \).

 \( {{S}_{xq}}=\pi .r.\ell =\pi .r.AB=\pi .a\sqrt{3}.3a=3\sqrt{3}\pi {{a}^{2}} \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Trong hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đều bằng a√2. Tính thể tích V của khối nón đỉnh S và đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD

(THPTQG – 123 – 2017) Trong hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đều bằng \( a\sqrt{2} \). Tính thể tích V của khối nón đỉnh S và đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD.

A. \( V=\frac{\sqrt{2}\pi {{a}^{3}}}{2} \).

B.  \( V=\frac{\pi {{a}^{3}}}{2} \).          

C.  \( V=\frac{\pi {{a}^{3}}}{6} \).          

D.  \( V=\frac{\sqrt{2}\pi {{a}^{3}}}{6} \).

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Gọi  \( O=AC\cap BD\Rightarrow SO\bot (ABCD) \).

Lại có  \( OC=\frac{AC}{2}=a\Rightarrow SO=\sqrt{S{{A}^{2}}-O{{C}^{2}}}=a \).

Bán kính  \( r=\frac{AB}{2}=\frac{a}{\sqrt{2}} \).

Suy ra thể tích khối nón là  \( V=\frac{1}{3}\pi {{\left( \frac{a}{\sqrt{2}} \right)}^{2}}.a=\frac{\pi {{a}^{3}}}{6} \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Cho một hình nón có bán kính đáy bằng 2a. Mặt phẳng (P) đi qua đỉnh (S) của hình nón, cắt đường tròn đáy tại A và B sao cho AB=2a√3

Cho một hình nón có bán kính đáy bằng 2a. Mặt phẳng (P) đi qua đỉnh (S) của hình nón, cắt đường tròn đáy tại A và B sao cho \( AB=2a\sqrt{3} \), khoảng cách từ tâm đường tròn đáy đến mặt phẳng (P) bằng  \( \frac{a\sqrt{2}}{2} \). Thể tích khối nón đã cho bằng

A. \( \frac{8\pi {{a}^{3}}}{3} \).

B.  \( \frac{4\pi {{a}^{3}}}{3} \).                                     

C.  \( \frac{2\pi {{a}^{3}}}{3} \).             

D.  \( \frac{\pi {{a}^{3}}}{3} \).

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Gọi G là trung điểm của AB, O là tâm của đáy. Khi đó  \( \left\{ \begin{align}  & SO\bot AB \\  & OC\bot AB \\ \end{align} \right.\Rightarrow (SOC)\bot AB \).

Gọi H là hình chiếu của O lên SC thì  \( OH\bot (SAB) \) nên  \( OH=\frac{a\sqrt{2}}{2} \).

 \( OB=2a,\,\,BC=a\sqrt{3}\Rightarrow OC=a \).

Xét tam giác vuông SOC, ta có  \( \frac{1}{S{{O}^{2}}}=\frac{1}{O{{H}^{2}}}-\frac{1}{O{{C}^{2}}}=\frac{1}{{{a}^{2}}}\Rightarrow SO=a \).

Vậy thể tích khối nón giới hạn bởi hình nón đã cho là  \( V=\frac{1}{3}\pi .{{(2a)}^{2}}.a=\frac{4\pi {{a}^{3}}}{3} \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Cho hình nón có bán kính đáy bằng 3 và chiều cao bằng 10. Mặt phẳng (α) vuông góc với trục và cách đỉnh của hình nón một khoảng bằng 4, chia hình nón thành hai phần

Cho hình nón có bán kính đáy bằng 3 và chiều cao bằng 10. Mặt phẳng \( (\alpha ) \) vuông góc với trục và cách đỉnh của hình nón một khoảng bằng 4, chia hình nón thành hai phần. Gọi  \( {{V}_{1}} \) là thể tích của phần chứa đỉnh của hình nón đã cho,  \( {{V}_{2}} \) là thể tích của phần còn lại. Tính tỉ số  \( \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}} \)?

A. \( \frac{4}{25} \).

B.  \( \frac{21}{25} \).              

C.  \( \frac{8}{117} \).     

D.  \( \frac{4}{21} \).

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Ta có:  \( IB\parallel OA\Rightarrow \frac{IB}{OA}=\frac{SI}{SO}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5} \).

Khi đó,  \( \frac{{{V}_{1}}}{V}=\frac{\frac{1}{3}\pi .I{{B}^{2}}.SI}{\frac{1}{3}\pi .O{{A}^{2}}.SO}={{\left( \frac{IB}{OA} \right)}^{2}}.\frac{SI}{SO}={{\left( \frac{2}{5} \right)}^{3}}=\frac{8}{125} \).

Suy ra:  \( \frac{{{V}_{2}}}{V}=1-\frac{8}{125}=\frac{117}{125} \).

Vậy  \( \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{{{V}_{1}}}{V}:\frac{{{V}_{2}}}{V}=\frac{8}{125}:\frac{117}{125}=\frac{8}{117} \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Cho hình nón có chiều cao 6a. Một mặt phẳng (P) đi qua đỉnh có hình nón và có khoảng cách đến tâm là 3a, thiết diện thu được là một tam giác vuông cân

Cho hình nón có chiều cao 6a. Một mặt phẳng (P) đi qua đỉnh có hình nón và có khoảng cách đến tâm là 3a, thiết diện thu được là một tam giác vuông cân. Thể tích của khối nón được giới hạn bởi hình nón đã cho bằng

A. \( 150\pi {{a}^{3}} \).

B.  \( 96\pi {{a}^{3}} \).

C.  \( 108\pi {{a}^{3}} \).       

D.  \( 120\pi {{a}^{3}} \).

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Mặt phẳng (P) cắt hình nón theo thiết diện là tam giác SDE. Theo giả thiết, tam giác SDE vuông cân tại đỉnh S. Gọi G là trung điểm DE, kẻ  \( OH\bot SG\Rightarrow OH=3a \).

Ta có:  \( \frac{1}{O{{H}^{2}}}=\frac{1}{S{{O}^{2}}}+\frac{1}{O{{G}^{2}}}\Rightarrow \frac{1}{O{{G}^{2}}}=\frac{1}{O{{H}^{2}}}-\frac{1}{S{{O}^{2}}}\Rightarrow OG=2a\sqrt{3} \).

Do  \( SO.OG=OH.SG\Rightarrow SG=\frac{SO.OG}{SG}=\frac{6a.2a\sqrt{3}}{3a}=4a\sqrt{3}\Rightarrow DE=8a\sqrt{3} \).

 \( OD=\sqrt{O{{G}^{2}}+D{{G}^{2}}}=\sqrt{12{{a}^{2}}+48{{a}^{2}}}=2\sqrt{15}a \).

Vậy  \( V=\frac{1}{3}.\pi .{{\left( 2\sqrt{15}a \right)}^{2}}.6a=120\pi {{a}^{3}} \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Cho hình tứ diện ABCD có AD⊥(ABC), ABC là tam giác vuông tại B. Biết BC=2cm,AB=2√3cm,AD=6cm. Quay các tam giác ABC và ABD

Cho hình tứ diện ABCD có \( AD\bot (ABC) \), ABC là tam giác vuông tại B. Biết  \( BC=2\,\,cm,\,\,AB=2\sqrt{3}\,\,cm,\,\,AD=6\,\,cm \). Quay các tam giác ABC và ABD (bao gồm cả điểm bên trong 2 tam giác) xung quanh đường thẳng AB ta được 2 khối tròn xoay. Thể tích phần chung của 2 khối tròn xoay đó bằng

A. \( \sqrt{3}\pi \,\,c{{m}^{3}} \).

B.  \( \frac{5\sqrt{3}}{2}\pi \,\,c{{m}^{3}} \).            

C.  \( \frac{3\sqrt{3}}{2}\pi \,\,c{{m}^{3}} \).        

D.  \( \frac{64\sqrt{3}}{3}\,\,c{{m}^{3}} \).

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Dễ thấy  \( AD\bot (ABC)\Rightarrow AD={{R}_{1}} \).

Gọi  \( M=BD\cap AC \) và N là hình chiếu của M trên AB. Dễ dàng chứng minh được tỉ lệ:

 \( \frac{MN}{BC}=\frac{AN}{AB}\,\,\,\,(1) \) và  \( \frac{MN}{AD}=\frac{BN}{AB}\,\,\,\,(2) \)

 \( \xrightarrow{(1)\div (2)}\frac{AD}{BC}=\frac{AN}{BN}=3\Rightarrow \frac{AN}{AB}=\frac{3}{4};\,\,\frac{BN}{AB}=\frac{1}{4} \).

 \( \Rightarrow AN=\frac{3\sqrt{3}}{2};\,\,BN=\frac{\sqrt{3}}{2};\,\,MN=\frac{3}{2} \).

Phần thể tích chung của 2 khối tròn xoay là phần thể tích khi quay tam giác AMB xung quanh trục AB. Gọi V1 là thể tích khối tròn xoay khi quay tam giác BMN xung quanh AB và V2 là thể tích khối tròn xoay khi tam giác AMN xung quanh AB.

Dễ tính được  \( {{V}_{1}}=\frac{3\sqrt{3}\pi }{8}\,\,c{{m}^{3}};\,\,{{V}_{2}}=\frac{9\sqrt{3}\pi }{8}\,\,c{{m}^{3}}\Rightarrow {{V}_{1}}+{{V}_{2}}=\frac{3\sqrt{3}\pi }{2}\,\,c{{m}^{3}} \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Cho hình thang ABCD có Aˆ=Bˆ=90∘,AB=BC=a,AD=2a. Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình thang ABCD xung quanh trục CD

Cho hình thang ABCD có \( \widehat{A}=\widehat{B}=90{}^\circ ,\,\,AB=BC=a,\,\,AD=2a \). Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình thang ABCD xung quanh trục CD.

A. \( \frac{7\sqrt{2}\pi {{a}^{3}}}{6} \).

B.  \( \frac{7\sqrt{2}\pi {{a}^{3}}}{12} \).         

C.  \( \frac{7\pi {{a}^{3}}}{6} \).                            

D.  \( \frac{7\pi {{a}^{3}}}{12} \).

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Gọi E là giao điểm của AB và CD. Gọi F là hình chiếu vuông góc của B trên CE.

Ta có \(\Delta BCF=\Delta BEF\) nên tam giác  \(\Delta BCF\) và \( \Delta BEF \) quay quanh trục CD tạo thành hai khối nón bằng nhau có thể tích V1.

\(\Delta ADC=\Delta AEC\) nên tam giác \(\Delta ADC\) và \(\Delta AEC\) quay quanh trục CD tạo thành hai khối nón bằng nhau có thể tích V.

Nên thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình thang ABCD xung quanh CD bằng:

 \( 2V-2{{V}_{1}}=2.\frac{1}{3}\pi \left( CD.A{{C}^{2}}-CF.B{{F}^{2}} \right)=\frac{2}{3}\pi \left[ {{\left( a\sqrt{2} \right)}^{3}}-{{\left( \frac{a}{\sqrt{2}} \right)}^{3}} \right]=\frac{7\sqrt{2}\pi {{a}^{3}}}{6} \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Cho hình chữ nhật ABCD có AB=2,AD=2√3 và nằm trong mặt phẳng (P). Quay (P) một vòng quanh đường thẳng BD

Cho hình chữ nhật ABCD có \( AB=2,\,\,AD=2\sqrt{3} \) và nằm trong mặt phẳng (P). Quay (P) một vòng quanh đường thẳng BD. Khối tròn xoay được tạo thành có thể tích bằng

A. \( \frac{28\pi }{9} \).

B.  \( \frac{28\pi }{3} \).           

C.  \( \frac{56\pi }{9} \).  

D.  \( \frac{56\pi }{3} \).

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Khối nón đỉnh D, tâm đáy I có thể tích V1.

Ta có  \( BD=4 \) mà  \( IC’.BD=BC’.C’D\Rightarrow IC’=\sqrt{3} \).

 \( ID=\frac{DC{{‘}^{2}}}{BD}=1 \) nên  \( {{V}_{1}}=\frac{1}{3}\pi .IC{{‘}^{2}}.ID=\pi  \).

Khối nón cụt có tâm đáy J, I có thể tích  \( {{V}_{2}} \).

Ta có:  \( DI=3,\,\,DJ=2,\,\,\frac{JE}{IC’}=\frac{DJ}{DI}=\frac{2}{3}\Rightarrow JE=\frac{2\sqrt{3}}{3} \).

 \( {{V}_{2}}=\frac{1}{3}\pi \left( IC{{‘}^{2}}.DI-J{{E}^{2}}.DJ \right)=\frac{19\pi }{9} \).

Vậy thể tích cần tìm là  \( V=2({{V}_{1}}+{{V}_{2}})=\frac{56}{9}\pi  \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Cho một đồng hồ cát như hình bên dưới (gồm hai hình nón chung đỉnh ghép lại), trong đó đường sinh bất kì của hình nón tạo tạo đáy một góc 60∘

Cho một đồng hồ cát như hình bên dưới (gồm hai hình nón chung đỉnh ghép lại), trong đó đường sinh bất kì của hình nón tạo tạo đáy một góc \( 60{}^\circ \) . Biết  rằng chiều cao của đồng hồ là 30 cm và tổng thể tích của đồng hồ là  \( 1000\pi \,\,c{{m}^{3}} \). Hỏi nếu cho đầy lượng cát vào phần bên trên thì khi chảy hết xuống dưới, tỉ số thể tích lượng cát chiếm chỗ và thể tích phần phía dưới là bao nhiêu?

A. \( \frac{1}{64} \).

B.  \( \frac{1}{8} \).                   

C.  \( \frac{1}{27} \).       

D.  \( \frac{1}{3\sqrt{3}} \).

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Gọi  \( {{r}_{1}},\,\,{{h}_{1}},\,\,{{r}_{2}},\,\,{{h}_{2}} \) lần lượt là bán kính, đường cao của hình nón trên và hình nón dưới.

Do đường sinh bất kì của hình nón tạo với đáy một góc  \( 60{}^\circ \) .

Suy ra:  \( \widehat{OAI’}=\widehat{OBI}=60{}^\circ \) , khi đó ta có mối liên hệ:  \( {{h}_{1}}=\sqrt{3}{{r}_{1}},\,\,{{h}_{2}}=\sqrt{3}{{r}_{2}} \).

Theo đề ta có:  \( V={{V}_{1}}+{{V}_{2}}=\frac{1}{3}\pi \left( {{h}_{1}}r_{1}^{2}+{{h}_{2}}r_{2}^{2} \right)=\frac{1}{9}\pi \left( h_{1}^{3}+h_{2}^{3} \right)=1000\pi \) .

Mà  \( h_{1}^{3}+h_{2}^{3}={{({{h}_{1}}+{{h}_{2}})}^{3}}-3({{h}_{1}}+{{h}_{2}}).{{h}_{1}}{{h}_{2}}\Rightarrow {{h}_{1}}{{h}_{2}}=200 \).

Kết hợp giả thiết:  \( {{h}_{1}}+{{h}_{2}}=30 \) ta được:  \( \left\{ \begin{align}  & {{h}_{1}}=10 \\  & {{h}_{2}}=20 \\ \end{align} \right. \).

Tử đó tỉ lệ cần tìm là  \( \frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{{{\left( 10\sqrt{3} \right)}^{2}}{{h}_{1}}}{{{\left( 20\sqrt{3} \right)}^{2}}{{h}_{2}}}=\frac{1}{4}.\frac{1}{2}=\frac{1}{8} \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Cho hình nón N1 đỉnh S đáy là đường tròn C(O;R), đường cao SO=40cm. Người ta cắt nón bằng mặt phẳng vuông góc với trục để được nón nhỏ N2 có đỉnh S và đáy là đường tròn C′(O′;R′)

Cho hình nón N1 đỉnh S đáy là đường tròn \( C(O;R) \), đường cao  \( SO=40\,\,cm \). Người ta cắt nón bằng mặt phẳng vuông góc với trục để được nón nhỏ N2 có đỉnh S và đáy là đường tròn  \( C'(O’;R’) \). Biết rằng tỉ số thể tích  \( \frac{{{V}_{{{N}_{2}}}}}{{{V}_{{{N}_{1}}}}}=\frac{1}{8} \). Tính độ dài đường cao nón N2.

A. 20 cm.

B. 5 cm.

C. 10 cm.                          

D. 49 cm.

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Ta có:  \( {{V}_{{{N}_{1}}}}=\frac{1}{3}\pi {{R}^{3}}.SO,\,\,{{V}_{{{N}_{2}}}}=\frac{1}{3}\pi {{{R}’}^{2}}.SO’ \).

Mặt khác,  \( \Delta SO’A\backsim \Delta SOB \) nên  \( \frac{R’}{R}=\frac{SO’}{SO} \).

Suy ra:  \( \frac{{{V}_{{{N}_{2}}}}}{{{V}_{{{N}_{1}}}}}=\frac{R{{‘}^{2}}.SO’}{{{R}^{2}}.SO}={{\left( \frac{SO’}{SO} \right)}^{3}}=\frac{1}{8}\Rightarrow \frac{SO’}{SO}=\frac{1}{2}\Rightarrow SO’=\frac{1}{2}.40=20\,\,cm \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Cho tam giác ABC vuông tại A, cạnh AB=6,AC=8 và M là trung điểm của cạnh AC. Khi đó thể tích của khối tròn xoay do tam giác BMC quay quanh AB là

Cho tam giác ABC vuông tại A, cạnh \( AB=6,\,\,AC=8 \) và M là trung điểm của cạnh AC. Khi đó thể tích của khối tròn xoay do tam giác BMC quay quanh AB là:

A. \( 86\pi \) .

B.  \( 106\pi \) .

C.  \( 96\pi  \).  

D.  \( 98\pi  \).

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Khi tam giác BMC quay quanh trục AB thì thể tích khối tròn xoay tạo thành là hiệu của thể tích khối nón có đường cao AB, đường sinh BC và khối nón có đường cao AB, đường sinh BM.

Nên \(V=\frac{1}{3}AB.\pi .A{{C}^{2}}-\frac{1}{3}AB.\pi .A{{M}^{2}}=\frac{1}{4}AB.\pi .A{{C}^{2}}=96\pi \).

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

Bài toán mới!

Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!

Không tìm thấy bài viết nào.

Cho hình nón tròn xoay có chiều cao bằng 2a, bán kính đáy bằng 3a. Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện bằng 3a/2

Cho hình nón tròn xoay có chiều cao bằng 2a, bán kính đáy bằng 3a. Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện bằng \( \frac{3a}{2} \). Diện tích của thiết diện đó bằng

A. \( \frac{2{{a}^{2}}\sqrt{3}}{7} \)

B.  \( 12{{a}^{2}}\sqrt{3} \)             

C.  \( \frac{12{{a}^{2}}}{7} \)                  

D.  \( \frac{24{{a}^{2}}\sqrt{3}}{7} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Xét hình nón đỉnh S có chiều cao SO = 2a, bán kính đáy OA = 3a.

Thiết diện đi qua đỉnh của hình nón là tam giác SAB cân tại S.

+ Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Trong tam giác SOI, kẻ  \( OH\bot SI  \),  \( H\in SI  \).

+  \( \left\{ \begin{align}  & AB\bot OI \\  & AB\bot SO \\ \end{align} \right.\Rightarrow AB\bot (SOI) \) \( \Rightarrow AB\bot OH \)

+  \( \left\{ \begin{align}  & OH\bot SI \\  & OH\bot AB \\ \end{align} \right.\Rightarrow OH\bot (SAB) \) \( \Rightarrow {{d}_{\left( O,(SAB) \right)}}=OH=\frac{3a}{2} \)

Xét  \( \Delta SOI  \) vuộng tại O, ta có:  \( \frac{1}{O{{I}^{2}}}=\frac{1}{O{{H}^{2}}}\frac{1}{S{{O}^{2}}}=\frac{4}{9{{a}^{2}}}-\frac{1}{4{{a}^{2}}}=\frac{7}{36{{a}^{2}}} \) \( \Rightarrow OI=\frac{6a}{\sqrt{7}} \)

 \( SI=\sqrt{S{{O}^{2}}+O{{I}^{2}}}=\sqrt{4{{a}^{2}}+\frac{36{{a}^{2}}}{7}}=\frac{8a}{\sqrt{7}} \)

Xét  \( \Delta AOI  \) vuông tại I,  \( AI=\sqrt{A{{O}^{2}}-O{{I}^{2}}}=\sqrt{9{{a}^{2}}-\frac{36{{a}^{2}}}{7}}=\frac{3\sqrt{3}a}{\sqrt{7}} \)

 \( \Rightarrow AB=2AI=\frac{6\sqrt{3}a}{\sqrt{7}} \)

Vậy diện tích của thiết diện là:  \( {{S}_{\Delta SAB}}=\frac{1}{2}.SI.AB=\frac{1}{2}.\frac{8a}{\sqrt{7}}.\frac{6\sqrt{3}a}{\sqrt{7}}=\frac{24{{a}^{2}}\sqrt{3}}{7} \)

 

Nhận Dạy Kèm Môn Toán Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...