Cho hình nón tròn xoay có chiều cao bằng 2a, bán kính đáy bằng 3a. Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện bằng 3a/2

Cho hình nón tròn xoay có chiều cao bằng 2a, bán kính đáy bằng 3a. Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện bằng \( \frac{3a}{2} \). Diện tích của thiết diện đó bằng

A. \( \frac{2{{a}^{2}}\sqrt{3}}{7} \)

B.  \( 12{{a}^{2}}\sqrt{3} \)             

C.  \( \frac{12{{a}^{2}}}{7} \)                  

D.  \( \frac{24{{a}^{2}}\sqrt{3}}{7} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Xét hình nón đỉnh S có chiều cao SO = 2a, bán kính đáy OA = 3a.

Thiết diện đi qua đỉnh của hình nón là tam giác SAB cân tại S.

+ Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Trong tam giác SOI, kẻ  \( OH\bot SI  \),  \( H\in SI  \).

+  \( \left\{ \begin{align}  & AB\bot OI \\  & AB\bot SO \\ \end{align} \right.\Rightarrow AB\bot (SOI) \) \( \Rightarrow AB\bot OH \)

+  \( \left\{ \begin{align}  & OH\bot SI \\  & OH\bot AB \\ \end{align} \right.\Rightarrow OH\bot (SAB) \) \( \Rightarrow {{d}_{\left( O,(SAB) \right)}}=OH=\frac{3a}{2} \)

Xét  \( \Delta SOI  \) vuộng tại O, ta có:  \( \frac{1}{O{{I}^{2}}}=\frac{1}{O{{H}^{2}}}\frac{1}{S{{O}^{2}}}=\frac{4}{9{{a}^{2}}}-\frac{1}{4{{a}^{2}}}=\frac{7}{36{{a}^{2}}} \) \( \Rightarrow OI=\frac{6a}{\sqrt{7}} \)

 \( SI=\sqrt{S{{O}^{2}}+O{{I}^{2}}}=\sqrt{4{{a}^{2}}+\frac{36{{a}^{2}}}{7}}=\frac{8a}{\sqrt{7}} \)

Xét  \( \Delta AOI  \) vuông tại I,  \( AI=\sqrt{A{{O}^{2}}-O{{I}^{2}}}=\sqrt{9{{a}^{2}}-\frac{36{{a}^{2}}}{7}}=\frac{3\sqrt{3}a}{\sqrt{7}} \)

 \( \Rightarrow AB=2AI=\frac{6\sqrt{3}a}{\sqrt{7}} \)

Vậy diện tích của thiết diện là:  \( {{S}_{\Delta SAB}}=\frac{1}{2}.SI.AB=\frac{1}{2}.\frac{8a}{\sqrt{7}}.\frac{6\sqrt{3}a}{\sqrt{7}}=\frac{24{{a}^{2}}\sqrt{3}}{7} \)

 

Các bài toán liên quan

Bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O, bán kính R. Dựng hai đường sinh SA và SB, biết AB chắn trên đường tròn đáy một cung có số đo bằng 60O, khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng (SAB) bằng R/2

Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O, bán kính R. Dựng hai đường sinh SA và SB, biết AB chắn trên đường tròn đáy một cung có số đo bằng 60O, khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng (SAB) bằng  \( \frac{R}{2} \). Đường cao h của hình nón bằng

A. \( h=R\sqrt{3} \)

B.  \( h=R\sqrt{2} \)        

C.  \( h=\frac{R\sqrt{3}}{2} \)             

D.  \( h=\frac{R\sqrt{6}}{4} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Gọi I là trung điểm AB.

Kẻ OH vuông góc với SI.

\({{d}_{\left( O,(SAB) \right)}}=OH=\frac{R}{2}\)

Ta có cung \(\overset\frown{AB}\) bằng 60O nên \(\widehat{AOB}={{60}^{O}}\).

Tam giác AOI vuông tại I, ta có  \( \cos \widehat{IOA}=\frac{OI}{OA} \) \( \Leftrightarrow OI=OA.\cos {{30}^{O}}=\frac{R\sqrt{3}}{2} \)

Tam giác SOI vuông tại O, ta có:

 \( \frac{1}{O{{H}^{2}}}=\frac{1}{S{{O}^{2}}}+\frac{1}{O{{I}^{2}}} \) \( \Leftrightarrow \frac{1}{S{{O}^{2}}}=\frac{1}{O{{H}^{2}}}-\frac{1}{O{{I}^{2}}}=\frac{1}{{{\left( \frac{R}{2} \right)}^{2}}}-\frac{1}{{{\left( \frac{\sqrt{3}R}{2} \right)}^{2}}}=\frac{8}{3{{R}^{2}}} \)

 \( \Rightarrow SO=\frac{R\sqrt{6}}{4} \)

 

Các bài toán liên quan

Bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho hình nón đỉnh S, đáy là đường tròn (O, 5). Một mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón cắt đường tròn đáy tại hai điểm A và B sao cho SA = AB = 8. Tính khoảng cách từ O đến (SAB)

Cho hình nón đỉnh S, đáy là đường tròn (O, 5). Một mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón cắt đường tròn đáy tại hai điểm A và B sao cho SA = AB = 8. Tính khoảng cách từ O đến (SAB).

A. \( 2\sqrt{2} \)

B.  \( \frac{3\sqrt{3}}{4} \)       

C.  \( \frac{3\sqrt{2}}{7} \)                                        

D.  \( \frac{\sqrt{13}}{2} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Gọi I là trung điểm AB.

Ta có:  \( \left\{ \begin{align}  & AB\bot SO \\  & AB\bot OI \\ \end{align} \right.\Rightarrow AB\bot (SOI) \) \( \Rightarrow (SAB)\bot (SOI) \)

Trong (SOI), kẻ  \( OH\bot SI  \) thì  \( OH\bot (SAB) \).

 \( \Rightarrow {{d}_{\left( O,(SAB) \right)}}=OH  \)

Ta có: \(SO=\sqrt{S{{A}^{2}}-O{{A}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \frac{8.5}{5} \right)}^{2}}-{{5}^{2}}}=\sqrt{39}\)

 \( OI=\sqrt{O{{A}^{2}}-A{{I}^{2}}}=\sqrt{{{5}^{2}}-{{\left( \frac{4.5}{5} \right)}^{2}}}=3 \)

Tam giác vuông SOI có:  \( \frac{1}{O{{H}^{2}}}=\frac{1}{O{{I}^{2}}}+\frac{1}{S{{O}^{2}}}\Rightarrow OH=\frac{3\sqrt{13}}{4} \)

Vậy  \( {{d}_{\left( O,(SAB) \right)}}=OH=\frac{3\sqrt{13}}{4} \).

 

Các bài toán liên quan

Bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho hình nón có chiều cao và bán kính đáy đều bằng 1. Mặt phẳng (P) qua đỉnh của hình nón và cắt đáy theo dây cung có độ dài bằng 1. Khoảng cách từ tâm của đáy tới mặt phẳng (P) bằng

Cho hình nón có chiều cao và bán kính đáy đều bằng 1. Mặt phẳng (P) qua đỉnh của hình nón và cắt đáy theo dây cung có độ dài bằng 1. Khoảng cách từ tâm của đáy tới mặt phẳng (P) bằng

A. \( \frac{\sqrt{7}}{7} \)

B.  \( \frac{\sqrt{2}}{2} \)         

C.  \( \frac{\sqrt{3}}{3} \)

D.  \( \frac{\sqrt{21}}{7} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án D.

Ta có:  \( \ell =h=1 \)

Mặt phẳng (P) qua đỉnh của hình nón và cắt đáy theo dây cung AB có độ dài bằng 1.

I, K là hình chiếu O lên AB, SI.

Ta có:  \( AB\bot (SIO)\Rightarrow OK\bot (SAB) \)

Ta có: \(IO=\sqrt{{{R}^{2}}-O{{A}^{2}}}=\sqrt{{{1}^{2}}-{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

 \( \frac{1}{O{{K}^{2}}}=\frac{1}{O{{I}^{2}}}+\frac{1}{O{{S}^{2}}} \) \( \Rightarrow OK=\frac{OI.SO}{\sqrt{O{{I}^{2}}+O{{S}^{2}}}}=\frac{\sqrt{21}}{7} \)

 

Các bài toán liên quan

Bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho đoạn thẳng AB có độ dài bằng 2a, vẽ tia Ax về phía điểm B sao cho điểm B luôn cách tia Ax một đoạn bằng a. Gọi H là hình chiếu của B lên tia Ax, khi tam giác AHB quay quanh trục AB thì đường gấp khúc AHB vẽ thành mặt tròn xoay có diện tích xung quanh bằng

Cho đoạn thẳng AB có độ dài bằng 2a, vẽ tia Ax về phía điểm B sao cho điểm B luôn cách tia Ax một đoạn bằng a. Gọi H là hình chiếu của B lên tia Ax, khi tam giác AHB quay quanh trục AB thì đường gấp khúc AHB vẽ thành mặt tròn xoay có diện tích xung quanh bằng:

A. \( \frac{3\sqrt{2}\pi {{a}^{2}}}{2} \)

B.  \( \frac{\left( 3+\sqrt{3} \right)\pi {{a}^{2}}}{2} \)                                       

C.  \( \frac{\left( 1+\sqrt{3} \right)\pi {{a}^{2}}}{2} \)                                       

D.  \( \frac{\left( 2+\sqrt{2} \right)\pi {{a}^{2}}}{2} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án B.

Xét  \( \Delta AHB  \) vuông tại H, ta có:  \( AH=\sqrt{A{{B}^{2}}-H{{B}^{2}}}=a\sqrt{3} \)

Xét  \( \Delta AHB  \) vuông tại H,  \( HI\bot AB  \) tại I, ta có:  \( HI=\frac{AH.HB}{AB}=\frac{a\sqrt{3}.a}{2a}=\frac{a\sqrt{3}}{2} \).

Khi tam giác AHB quay quanh trục AB thì đường gấp khúc AHB vẽ thành mặt tròn xoay (có diện tích xung quanh là S) là hợp của hai mặt xung quanh của hình nón (N1) và (N2).

Trong đó:

(N1) là hình nón có được do quay tam giác AHI quanh trục AI có diện tích xung quanh là  \( {{S}_{1}}=\pi .HI.AH=\pi .\frac{a\sqrt{3}}{2}.a\sqrt{3}=\frac{3\pi {{a}^{2}}}{2} \)

(N2) là hình nón có được do quay tam giác BHI quanh trục BI có diện tích xung quanh là  \( {{S}_{2}}=\pi .HI.BH=\pi .\frac{a\sqrt{3}}{2}.a=\frac{\sqrt{3}\pi {{a}^{2}}}{2} \)

 \( \Rightarrow S={{S}_{1}}+{{S}_{2}}=\frac{3\pi {{a}^{2}}}{2}+\frac{\sqrt{3}\pi {{a}^{2}}}{2}=\frac{\left( 3+\sqrt{3} \right)\pi {{a}^{2}}}{2} \)

 

Các bài toán liên quan

Bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO, A và B là hai điểm thuộc đường tròn đáy sao cho khoảng cách từ O đến (SAB) bằng a√3/3 và SAOˆ=300, SABˆ=60O. Độ dài đường sinh của hình nón theo a bằng

Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO, A và B là hai điểm thuộc đường tròn đáy sao cho khoảng cách từ O đến (SAB) bằng  \( \frac{a\sqrt{3}}{3} \) và  \( \widehat{SAO}={{30}^{0}} \),  \( \widehat{SAB}={{60}^{O}} \). Độ dài đường sinh của hình nón theo a bằng

A. \( a\sqrt{2} \)                                           

B.  \( a\sqrt{3} \)                       

C.  \( 2a\sqrt{3} \)            

D.  \( a\sqrt{5} \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Gọi K là trung điểm của AB ta có:  \( OK\bot AB  \) vì tam giác OAB cân tại O.

Mà  \( SO\bot AB  \) nên  \( AB\bot \left( SOK \right) \)  \( \Rightarrow \left( SOK \right)\bot \left( SAB \right) \) mà  \( \left( SOK \right)\cap \left( SAB \right)=SK  \) nên từ O dựng  \( OH\bot SK  \) thì  \( OH\bot \left( SAB \right)\Rightarrow OH={{d}_{\left( O,(SAB) \right)}} \)

Xét tam giác SAO, ta có:  \( \sin \widehat{SAO}=\frac{SO}{SA} \)  \( \Rightarrow SO=\frac{SA}{2} \)

Xét  \( \Delta SAB  \), ta có:  \( \sin \widehat{SAB}=\frac{SK}{SA}\Rightarrow SK=\frac{SA\sqrt{3}}{2} \)

Xét  \( \Delta SOK  \), ta có: \(\frac{1}{O{{H}^{2}}}=\frac{1}{O{{K}^{2}}}+\frac{1}{O{{S}^{2}}}=\frac{1}{S{{K}^{2}}-S{{O}^{2}}}+\frac{1}{S{{O}^{2}}}\)

 \( \Rightarrow \frac{1}{O{{H}^{2}}}=\frac{1}{\frac{S{{A}^{2}}}{4}}+\frac{1}{\frac{3S{{A}^{2}}}{4}-\frac{S{{A}^{2}}}{4}}=\frac{4}{S{{A}^{2}}}+\frac{2}{S{{A}^{2}}} \)

 \( \Rightarrow \frac{6}{S{{A}^{2}}}=\frac{3}{{{a}^{2}}}\Rightarrow SA=2{{a}^{2}}\Rightarrow SA=a\sqrt{2} \)

 

Các bài toán liên quan

Bài toán mới!

Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!

Cho hình nón có chiều cao h = 20, bán kính đáy r = 25. Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là 12. Tính diện tích S của thiết diện đó

Cho hình nón có chiều cao h = 20, bán kính đáy r = 25. Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là 12. Tính diện tích S của thiết diện đó.

A. S = 500

B. S = 400

C. S = 300                       

D. S = 406

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.