Cho hình nón tròn xoay có chiều cao bằng 2a, bán kính đáy bằng 3a. Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện bằng \( \frac{3a}{2} \). Diện tích của thiết diện đó bằng
A. \( \frac{2{{a}^{2}}\sqrt{3}}{7} \)
B. \( 12{{a}^{2}}\sqrt{3} \)
C. \( \frac{12{{a}^{2}}}{7} \)
D. \( \frac{24{{a}^{2}}\sqrt{3}}{7} \)
Hướng dẫn giải:
Đáp án D.
Xét hình nón đỉnh S có chiều cao SO = 2a, bán kính đáy OA = 3a.
Thiết diện đi qua đỉnh của hình nón là tam giác SAB cân tại S.
+ Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Trong tam giác SOI, kẻ \( OH\bot SI \), \( H\in SI \).
+ \( \left\{ \begin{align} & AB\bot OI \\ & AB\bot SO \\ \end{align} \right.\Rightarrow AB\bot (SOI) \) \( \Rightarrow AB\bot OH \)
+ \( \left\{ \begin{align} & OH\bot SI \\ & OH\bot AB \\ \end{align} \right.\Rightarrow OH\bot (SAB) \) \( \Rightarrow {{d}_{\left( O,(SAB) \right)}}=OH=\frac{3a}{2} \)
Xét \( \Delta SOI \) vuộng tại O, ta có: \( \frac{1}{O{{I}^{2}}}=\frac{1}{O{{H}^{2}}}\frac{1}{S{{O}^{2}}}=\frac{4}{9{{a}^{2}}}-\frac{1}{4{{a}^{2}}}=\frac{7}{36{{a}^{2}}} \) \( \Rightarrow OI=\frac{6a}{\sqrt{7}} \)
\( SI=\sqrt{S{{O}^{2}}+O{{I}^{2}}}=\sqrt{4{{a}^{2}}+\frac{36{{a}^{2}}}{7}}=\frac{8a}{\sqrt{7}} \)
Xét \( \Delta AOI \) vuông tại I, \( AI=\sqrt{A{{O}^{2}}-O{{I}^{2}}}=\sqrt{9{{a}^{2}}-\frac{36{{a}^{2}}}{7}}=\frac{3\sqrt{3}a}{\sqrt{7}} \)
\( \Rightarrow AB=2AI=\frac{6\sqrt{3}a}{\sqrt{7}} \)
Vậy diện tích của thiết diện là: \( {{S}_{\Delta SAB}}=\frac{1}{2}.SI.AB=\frac{1}{2}.\frac{8a}{\sqrt{7}}.\frac{6\sqrt{3}a}{\sqrt{7}}=\frac{24{{a}^{2}}\sqrt{3}}{7} \)
Các bài toán liên quan
Bài toán mới!
Các sách tham khảo do Trung Tâm Nhân Tài Việt phát hành!
Thông Tin Hỗ Trợ Thêm!
- Với đội ngũ gia sư dạy kèm gồm giáo viên và sinh viên ở các trường uy tín nhất, chúng tôi nhận dạy kèm tại nhà và dạy kèm online 1 kèm 1.
- Nhận dạy kèm môn phổ thông: Toán học, Vật lý, Hóa học, Tiếng Anh, Sinh học, Văn học, … các lớp 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, LTDH và các môn ĐH–CĐ: Toán cao cấp, Xác suất thống kê...
- Nhận dạy kèm Tiếng Anh (Giao tiếp, TOEIC, TOEFL, IELTS, ...) - Tiếng Hoa - Tiếng Hàn - Tiếng Nhật (Giao tiếp, chứng chỉ N5, N4, N3, N2, N1), Tin Học (Văn phòng, Đồ họa, Lập trình,...) cho các học viên ở mọi lứa tuổi.
- Nhận dạy kèm các môn năng khiếu: Cờ Vua, Cờ Tướng, Đàn Ghitar, Đàn Dương Cầm,…
- Đ/C Trung Tâm: Số 103/6, Hẻm 528TC, Đường Trường Chinh, Kp. 7, P. Tân Hưng Thuận, Quận 12, Tp. HCM
- Hotline: 094.625.1920 - Thầy Nhân (Zalo)