Cho hình nón có chiều cao 6a. Một mặt phẳng (P) đi qua đỉnh có hình nón và có khoảng cách đến tâm là 3a, thiết diện thu được là một tam giác vuông cân

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Mặt phẳng (P) cắt hình nón theo thiết diện là tam giác SDE. Theo giả thiết, tam giác SDE vuông cân tại đỉnh S. Gọi G là trung điểm DE, kẻ  \( OH\bot SG\Rightarrow OH=3a \).

Ta có:  \( \frac{1}{O{{H}^{2}}}=\frac{1}{S{{O}^{2}}}+\frac{1}{O{{G}^{2}}}\Rightarrow \frac{1}{O{{G}^{2}}}=\frac{1}{O{{H}^{2}}}-\frac{1}{S{{O}^{2}}}\Rightarrow OG=2a\sqrt{3} \).

Do  \( SO.OG=OH.SG\Rightarrow SG=\frac{SO.OG}{SG}=\frac{6a.2a\sqrt{3}}{3a}=4a\sqrt{3}\Rightarrow DE=8a\sqrt{3} \).

 \( OD=\sqrt{O{{G}^{2}}+D{{G}^{2}}}=\sqrt{12{{a}^{2}}+48{{a}^{2}}}=2\sqrt{15}a \).

Vậy  \( V=\frac{1}{3}.\pi .{{\left( 2\sqrt{15}a \right)}^{2}}.6a=120\pi {{a}^{3}} \).