Cho hình nón có chiều cao h = 20, bán kính đáy r = 25. Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là 12. Tính diện tích S của thiết diện đó

Hướng dẫn giải:

Đáp án A.

Giả sử hình nón đỉnh S, tâm đáy O và có thiết diện qua đỉnh thỏa mãn yêu cầu bài toán là  \( \Delta SAB  \) (hình vẽ).

Ta có: SO là đường cao của hình nón. Gọi I là trung điểm của AB  \( \Rightarrow OI\bot AB  \).

Gọi H là hình chiếu của O lên SI  \( \Rightarrow OH\bot SI  \).

Ta chứng minh được  \( OH\bot \left( SAB \right)\Rightarrow OH=12 \)

Xét tam giác vuông SOI có:  \( \frac{1}{O{{H}^{2}}}=\frac{1}{O{{S}^{2}}}+\frac{1}{O{{I}^{2}}} \)

 \( \Rightarrow \frac{1}{O{{I}^{2}}}=\frac{1}{O{{H}^{2}}}-\frac{1}{O{{S}^{2}}}=\frac{1}{{{12}^{2}}}-\frac{1}{{{20}^{2}}}=\frac{1}{225} \)

 \( \Rightarrow O{{I}^{2}}=225\Rightarrow OI=15 \)

Xét tam giác vuông SOI có \(SI=\sqrt{O{{S}^{2}}+O{{I}^{2}}}=\sqrt{{{20}^{2}}+{{15}^{2}}}=25\)

Xét tam giác vuông OIA có  \( IA=\sqrt{O{{A}^{2}}-O{{I}^{2}}}=\sqrt{{{25}^{2}}-{{15}^{2}}}=20 \) \( \Rightarrow AB=40 \)

Ta có:  \( S={{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}.40.25=500 \)